En matemáticas, las funciones racionales elípticas son una secuencia de funciones racionales con coeficientes reales. Las funciones racionales elípticas se utilizan ampliamente en el diseño de filtros electrónicos elípticos . (Estas funciones a veces se denominan funciones racionales de Chebyshev , que no deben confundirse con otras funciones del mismo nombre ).
Gráfico de funciones racionales elípticas para x entre -1 y 1 para los órdenes 1, 2, 3 y 4 con factor de discriminación ξ = 1.1. Todos están delimitados entre -1 y 1 y todos tienen el valor 1 en
x = 1 .
Las funciones elípticas racionales se identifican mediante un orden entero positivo n e incluyen un parámetro ξ ≥ 1 llamado factor de selectividad . Una función elíptica racional de grado n en x con factor de selectividad ξ se define generalmente como:
dónde
- cd () es la función coseno elíptica de Jacobi .
- K () es una integral elíptica completa del primer tipo.
- es el factor de discriminación , igual al valor mínimo de la magnitud de por .
Para muchos casos, en particular para órdenes de la forma n = 2 a 3 b donde a y b son números enteros, las funciones racionales elípticas se pueden expresar usando solo funciones algebraicas. Las funciones racionales elípticas están estrechamente relacionadas con los polinomios de Chebyshev : así como las funciones trigonométricas circulares son casos especiales de las funciones elípticas de Jacobi, los polinomios de Chebyshev son casos especiales de las funciones racionales elípticas.
Para órdenes pares, las funciones racionales elípticas se pueden expresar como una razón de dos polinomios, ambos de orden n .
- (para n pares)
dónde son los ceros y son los polos, y es una constante de normalización elegida de modo que . El formulario anterior también sería válido para los pedidos pares, excepto que para los pedidos impares, habrá un polo en x = ∞ y un cero en x = 0, de modo que el formulario anterior debe modificarse para que diga:
- (por n impar)
Gráfica del valor absoluto de la función racional elíptica de tercer orden con ξ = 1.4. Hay un cero en
x = 0 y el polo en el infinito. Dado que la función es antisimétrica, se ve que hay tres ceros y tres polos. Entre los ceros, la función sube a un valor de 1 y, entre los polos, la función cae al valor del factor de discriminación
L nGráfica del valor absoluto de la función racional elíptica de cuarto orden con ξ = 1.4. Dado que la función es simétrica, se ve que hay cuatro ceros y cuatro polos. Entre los ceros, la función sube a un valor de 1 y, entre los polos, la función cae al valor del factor de discriminación
L nGráfico del efecto del factor de selectividad ξ. La función racional elíptica de cuarto orden se muestra con valores de ξ que varían desde casi la unidad hasta el infinito. La curva de negro, correspondiente a ξ = ∞ es el
polinomio de Chebyshev de orden 4. Cuanto más cerca el factor de selectividad es a la unidad, la más pronunciada será la pendiente en la región de transición entre x = 1 y x = ξ.
Las propiedades canónicas
- por
- a
- por
- La pendiente en x = 1 es lo más grande posible
- La pendiente en x = 1 es mayor que la pendiente correspondiente del polinomio de Chebyshev del mismo orden.
La única función racional que satisface las propiedades anteriores es la función racional elíptica ( Lutovac 2001 , § 13.2)error de harv: sin destino: CITEREFLutovac2001 ( ayuda ). Se derivan las siguientes propiedades:
Normalización
La función racional elíptica se normaliza a la unidad en x = 1:
Propiedad de anidamiento
La propiedad de anidamiento está escrita:
Esta es una propiedad muy importante:
- Si es conocido para todos los primos n , entonces la propiedad de anidamiento dapara todos n . En particular, desde y puede expresarse en forma cerrada sin el uso explícito de las funciones elípticas de Jacobi, entonces todos para n de la forma puede expresarse así.
- De ello se deduce que si los ceros de para primos n son conocidos, los ceros de todospuede ser encontrado. Usando la relación de inversión (ver más abajo), también se pueden encontrar los polos.
- La propiedad de anidamiento implica la propiedad de anidamiento del factor de discriminación:
Valores limitantes
Las funciones racionales elípticas están relacionadas con los polinomios de Chebyshev del primer tipo. por:
Simetría
- por n incluso
- por n impar
Equiripple
tiene la misma ondulación de en el intervalo . Por la relación de inversión (ver más abajo), se sigue que tiene equiripulación en de .
Relación de inversión
Se cumple la siguiente relación de inversión:
Esto implica que los polos y ceros vienen en pares de tal manera que
Las funciones de orden impar tendrán un cero en x = 0 y un polo correspondiente en el infinito.
Polos y ceros
Los ceros de la función racional elíptica de orden n se escribirán o Cuándo se conoce implícitamente. Los ceros de la función racional elíptica serán los ceros del polinomio en el numerador de la función.
La siguiente derivación de los ceros de la función racional elíptica es análoga a la de determinar los ceros de los polinomios de Chebyshev ( Lutovac 2001 , § 12.6)error de harv: sin destino: CITEREFLutovac2001 ( ayuda ). Usando el hecho de que para cualquier z
la ecuación definitoria para las funciones racionales elípticas implica que
de modo que los ceros están dados por
Usando la relación de inversión, se pueden calcular los polos.
De la propiedad de anidamiento, si los ceros de y pueden expresarse algebraicamente (es decir, sin la necesidad de calcular las funciones de la elipse de Jacobi) entonces los ceros de se puede expresar algebraicamente. En particular, los ceros de funciones racionales elípticas de ordenpuede expresarse algebraicamente ( Lutovac 2001 , § 12.9, 13.9)error de harv: sin destino: CITEREFLutovac2001 ( ayuda ). Por ejemplo, podemos encontrar los ceros de de la siguiente manera: Defina
Luego, desde la propiedad de anidamiento y sabiendo que
dónde tenemos:
Estas tres últimas ecuaciones se pueden invertir:
Para calcular los ceros de establecimos en la tercera ecuación, calcule los dos valores de , luego use estos valores de en la segunda ecuación para calcular cuatro valores de y finalmente, use estos valores en la primera ecuación para calcular los ocho ceros de . (La se calculan mediante una recursividad similar). De nuevo, utilizando la relación de inversión, estos ceros se pueden utilizar para calcular los polos.
Podemos escribir las primeras funciones racionales elípticas como:
- dónde
- dónde
- etc.
Ver Lutovac (2001 , § 13)error de harvtxt: sin destino: CITEREFLutovac2001 ( ayuda )para otras expresiones explícitas de orden n = 5 y.
Los factores de discriminación correspondientes son:
- etc.
Los ceros correspondientes son donde n es el orden y j es el número del cero. Habrá un total de n ceros para cada pedido.
De la relación de inversión, los polos correspondientes puede ser encontrado por