La ley cero-uno de Engelbert-Schmidt es un teorema que da un criterio matemático para que un evento asociado con una función aditiva continua no decreciente del movimiento browniano tenga probabilidad de 0 o 1, sin la posibilidad de un valor intermedio. Esta ley de cero-uno se utiliza en el estudio de cuestiones de finitud y comportamiento asintótico para ecuaciones diferenciales estocásticas . [1] (Un proceso de Wiener es una formalización matemática del movimiento browniano utilizado en el enunciado del teorema.) Esta ley 0-1, publicada en 1981, lleva el nombre de Hans-Jürgen Engelbert [2] y el probabilista Wolfgang Schmidt [3 ] (no confundir con el teórico de los númerosWolfgang M. Schmidt ).
Ley de Engelbert-Schmidt 0-1
Dejar ser un σ-álgebra y dejarser una familia creciente de sub- σ -álgebras de. Dejarser un proceso de Wiener en el espacio de probabilidad . Suponer quees una función medible de Borel de la línea real en [0, ∞]. Entonces las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:
(I) .
(ii) .
(iii) para todos los subconjuntos compactos de la línea real. [4]
Extensión a procesos estables
En 1997, Pio Andrea Zanzotto demostró la siguiente extensión de la ley cero-uno de Engelbert-Schmidt. Contiene el resultado de Engelbert y Schmidt como un caso especial, ya que el proceso de Wiener es un proceso estable de valor real de índice.
Dejar ser un -proceso estable valorado de índiceen el espacio de probabilidad filtrado . Suponer quees una función medible de Borel . Entonces las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:
(I) .
(ii) .
(iii) para todos los subconjuntos compactos de la línea real. [5]
La prueba del resultado de Zanzotto es casi idéntica a la de la ley cero-uno de Engelbert-Schmidt. El objeto clave en la prueba es el proceso de tiempo local asociado con procesos estables de índice., que se sabe que es conjuntamente continuo. [6]
Ver también
Referencias
- ^ Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (2012). Movimiento browniano y cálculo estocástico . Saltador. pag. 215.
- ^ Hans-Jürgen Engelbert en el Proyecto de genealogía matemática
- ^ Wolfgang Schmidt en el Proyecto de genealogía matemática
- ^ Engelbert, HJ; Schmidt, W. (1981). "Sobre el comportamiento de ciertos funcionales del proceso de Wiener y aplicaciones a ecuaciones diferenciales estocásticas". En Arató, M .; Vermes, D .; Balakrishnan, AV (eds.). Sistemas diferenciales estocásticos . Lectures Notes in Control and Information Sciences, vol. 36. Berlín; Heidelberg: Springer. págs. 47–55. doi : 10.1007 / BFb0006406 .
- ^ Zanzotto, PA (1997). "Sobre soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas unidimensionales impulsadas por un movimiento estable de Lévy". Procesos estocásticos y sus aplicaciones . 68 : 209-228. doi : 10.1214 / aop / 1023481008 .
- ^ Bertoin, J. (1996). Procesos de Lévy, Teoremas V.1, V.15 . Prensa de la Universidad de Cambridge.