Ecuación xy = yx

En general, la exponenciación no es conmutativa . Sin embargo, la ecuación se cumple en casos especiales, como ^[1]${\ Displaystyle x ^ {y} = y ^ {x}}$${\ Displaystyle x = 2, \ y = 4.}$

La ecuación se menciona en una carta de Bernoulli a Goldbach (29 de junio de 1728 ^[2] ). La letra contiene una declaración de que cuando las únicas soluciones en números naturales son y aunque hay infinitas soluciones en números racionales , como y . ^{[3] [4]} La respuesta de Goldbach (31 de enero de 1729 ^[2] ) contiene una solución general de la ecuación, obtenida sustituyendo ^[3] Euler encontró una solución similar . ^[4]${\ Displaystyle x ^ {y} = y ^ {x}}$${\ Displaystyle x \ neq y,}$${\ Displaystyle (2,4)}$${\ Displaystyle (4,2),}$${\ displaystyle ({\ tfrac {27} {8}}, {\ tfrac {9} {4}})}$${\ displaystyle ({\ tfrac {9} {4}}, {\ tfrac {27} {8}})}$${\ Displaystyle y = vx.}$

J. van Hengel señaló que si son números enteros positivos con , entonces basta con considerar posibilidades y para encontrar soluciones en números naturales. ^{[4] [5]}${\ Displaystyle r, n}$${\ Displaystyle r \ geq 3}$${\ Displaystyle r ^ {r + n}> (r + n) ^ {r};}$${\ Displaystyle x = 1}$${\ Displaystyle x = 2}$

El problema se discutió en varias publicaciones. ^{[2] [3] [4]} En 1960, la ecuación estaba entre las preguntas del Concurso William Lowell Putnam , ^{[6] [7]} que llevó a Alvin Hausner a extender los resultados a los campos numéricos algebraicos . ^{[3] [8]}

Gráfica de x ^y = y ^x .