En teoría de números , se dice que un entero positivo k es un número de Erdős-Woods si tiene la siguiente propiedad: existe un entero positivo a tal que en la secuencia ( a , a + 1,…, a + k ) de enteros, cada uno de los elementos tiene un factor común no trivial con uno de los puntos finales. En otras palabras, k es un número de Erdős – Woods si existe un entero positivo a tal que para cada entero i entre 0 y k, al menos uno de los máximos divisores comunes mcd ( a , a + i ) o mcd ( a + i , a + k ) es mayor que 1 .
Ejemplos de
Los primeros números de Erdős – Woods son
Historia
La investigación de tales números surgió de la siguiente conjetura previa de Paul Erdős :
- Existe un entero positivo k tal que cada entero a está determinado de forma única por la lista de divisores primos de a , a + 1,…, a + k .
Alan R. Woods investigó esta cuestión para su tesis de 1981. Woods conjeturó [1] que siempre que k > 1 , el intervalo [ a , a + k ] siempre incluye un número coprime para ambos extremos. Sólo más tarde encontró el primer contraejemplo, [2184, 2185,…, 2200] , con k = 16 . La existencia de este contraejemplo muestra que 16 es un número de Erdős-Woods.
Dowe (1989) demostró que hay infinitos números de Erdős-Woods, [2] y Cégielski, Heroult y Richard (2003) demostraron que el conjunto de números de Erdős-Woods es recursivo . [3]
Referencias
- ^ Alan L. Woods, Algunos problemas de lógica y teoría de números, y sus conexiones. Doctor. tesis, Universidad de Manchester, 1981. Disponible en línea en http://school.maths.uwa.edu.au/~woods/thesis/WoodsPhDThesis.pdf (consultado en julio de 2012)
- ^ Dowe, David L. (1989), "Sobre la existencia de secuencias de pares coprimos de enteros", J. Austral. Matemáticas. Soc. Ser. A , 47 : 84–89, doi : 10.1017 / S1446788700031220.
- ^ Cégielski, Patrick; Heroult, François; Richard, Denis (2003), "Sobre la amplitud de los intervalos de números naturales cuyos elementos tienen un divisor primo común con al menos un extremo", Theoretical Computer Science , 303 (1): 53–62, doi : 10.1016 / S0304- 3975 (02) 00444-9.