En matemáticas, un conjunto η es un tipo de conjunto totalmente ordenado introducido por Hausdorff ( 1907 , p.126, 1914 , capítulo 6 sección 8) que generaliza el tipo de orden η de los números racionales.
Definición
Si α es un ordinal luego una eta α conjunto está totalmente un conjunto ordenado de tal manera que si X y Y son dos subconjuntos de cardinalidad de menos de ℵ α tal que cada elemento de X es menor que cada elemento de Y entonces hay algún mayor elemento de todos los elementos de X y de menos de todos los elementos de y .
Ejemplos de
El único conjunto η 0 contable no vacío (hasta el isomorfismo) es el conjunto ordenado de números racionales.
Suponga que κ = ℵ α es un cardinal regular y sea X el conjunto de todas las funciones f desde κ a {−1,0,1} tales que si f (α) = 0 entonces f (β) = 0 para todo β > α, ordenado lexicográficamente. Entonces X es un conjunto η α . La unión de todos estos conjuntos es la clase de números surrealistas .
Un conjunto denso totalmente ordenado sin puntos finales es un conjunto η α si y solo si está ℵ α saturado .
Propiedades
Cualquier eta alpha conjunto X es universal para los conjuntos totalmente ordenados de cardinalidad en la mayoría ℵ alpha , lo que significa que cualquier conjunto puede ser embebido en X .
Para cualquier α ordinal dado, cualesquiera dos η α conjuntos de cardinalidad any α son isomorfos (como conjuntos ordenados). Existe un η α conjunto de cardinalidad ℵ α si ℵ α es regular y ∑ β <α 2 ℵ β ≤ ℵ α .
Referencias
- Alling, Norman L. (1962), "Sobre la existencia de campos cerrados reales que son η α -conjuntos de potencia ℵ α .", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 103 : 341–352, doi : 10.1090 / S0002-9947-1962-0146089-X , MR 0146089
- Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Teoría de modelos . Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas (3ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3.
- Felgner, U. (2002), "Die Hausdorffsche Theorie der ηα-Mengen und ihre Wirkungsgeschichte" (PDF) , Hausdorff Gesammelte Werke , II , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag, págs. 645–674
- Hausdorff (1907), "Untersuchungen über Ordnungstypen V", Ber. über die Verhandlungen der Königl. Sächs. Ges. Der Wiss. Zu Leipzig. Math.-Phys. Klasse , 59 : 105-159Traducción al inglés en Hausdorff (2005)
- Hausdorff, F. (1914), Grundzüge der Mengenlehre , Leipzig: Veit & Co
- Hausdorff, Felix (2005), Plotkin, JM (ed.), Hausdorff sobre conjuntos ordenados , Historia de las matemáticas, 25 , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3788-5, MR 2187098