En lógica matemática , y particularmente en su teoría del modelo de subcampo , un modelo saturado M es aquel que realiza tantos tipos completos como sea "razonablemente esperado" dado su tamaño. Por ejemplo, un modelo ultrapoderoso de los hiperrealistas es-saturada, lo que significa que cada secuencia anidada descendente de conjuntos internos tiene una intersección no vacía, ver Goldblatt (1998).
Definición
Sea κ un número cardinal finito o infinito y M un modelo en algún lenguaje de primer orden . Entonces M se llama κ saturados si por todos los subconjuntos A ⊆ M de cardinalidad menos que κ , el modelo M se da cuenta de todos los tipos completos sobre una . El modelo M se llama saturado si es | M | -saturada donde | M | denota la cardinalidad de M . Es decir, realiza todos los tipos completos sobre conjuntos de parámetros de tamaño inferior a | M |. Según algunos autores, un modelo M se denomina saturado numerablemente si es -saturado; es decir, realiza todos los tipos completos sobre conjuntos de parámetros contables. Según otros, es contablemente saturado si es-saturado; es decir, realiza todos los tipos completos sobre conjuntos de parámetros finitos.
Motivación
La noción aparentemente más intuitiva —de que se realizan todos los tipos completos del lenguaje— resulta ser demasiado débil (y, apropiadamente, se llama saturación débil , que es lo mismo que saturación 1). La diferencia radica en el hecho de que muchas estructuras contienen elementos que no son definibles (por ejemplo, cualquier elemento trascendental de R es, por definición de la palabra, no definible en el lenguaje de los campos ). Sin embargo, todavía forman parte de la estructura, por lo que necesitamos tipos para describir las relaciones con ellos. Por lo tanto, permitimos conjuntos de parámetros de la estructura en nuestra definición de tipos. Este argumento nos permite discutir características específicas del modelo que de otra manera podríamos pasar por alto; por ejemplo, un límite en una secuencia creciente específica c n se puede expresar como la realización del tipo { x ≥ c n : n ∈ ω}, que usa numerablemente muchos parámetros. Si la secuencia no es definible, este hecho acerca de la estructura no se puede describir usando el lenguaje base, por lo que una estructura débilmente saturada puede no unir la secuencia, mientras que una estructura ω-saturada sí lo hará.
La razón por la que solo requerimos conjuntos de parámetros que son estrictamente más pequeños que el modelo es trivial: sin esta restricción, ningún modelo infinito está saturado. Considere un modelo M y el tipo { x ≠ m : m ∈ M }. Cada subconjunto finito de este tipo se realiza en el modelo (infinito) M , por lo que por compacidad es consistente con M , pero trivialmente no se realiza. Cualquier definición que esté universalmente insatisfecha es inútil; de ahí la restricción.
Ejemplos de
Existen modelos saturados para ciertas teorías y cardinalidades:
- ( Q , <), el conjunto de números racionales con su orden habitual, está saturado. Intuitivamente, esto se debe a que cualquier tipo consistente con la teoría está implícito en el tipo de orden; es decir, el orden en que entran las variables le dice todo lo que hay que saber sobre su papel en la estructura.
- ( R , <) - el conjunto de números reales con su orden habitual - no está saturado. Por ejemplo, tome el tipo (en una variable x ) que contiene la fórmulapara cada número natural n , así como la fórmula. Este tipo utiliza omega diferentes parámetros de R . Cada subconjunto finito del tipo se realiza en R por alguna x real , por lo que por compacidad el tipo es consistente con la estructura, pero no se realiza, ya que eso implicaría un límite superior a la secuencia -1 / n que es menor que 0 (su límite superior mínimo). Por tanto, ( R , <) no es ω 1- saturado y no está saturado. Sin embargo, está saturado en ω, esencialmente por la misma razón que Q: todo tipo finito viene dado por el tipo de orden, que si es consistente, siempre se realiza debido a la densidad de la orden.
- Un conjunto denso totalmente ordenado sin puntos finales es un conjunto η α si y solo si está ℵ α- saturado.
- El gráfico aleatorio contable , con el único símbolo no lógico que es la relación de existencia de borde, también está saturado, porque cualquier tipo completo está aislado (implícito) por el subgráfico finito que consta de las variables y parámetros utilizados para definir el tipo.
Se puede demostrar que tanto la teoría de Q como la teoría del gráfico aleatorio contable son categóricas a través del método de ida y vuelta . Esto se puede generalizar de la siguiente manera: el modelo único de cardinalidad κ de una teoría categorial κ contable está saturado.
Sin embargo, la afirmación de que cada modelo tiene una extensión elemental saturada no se puede demostrar en ZFC . De hecho, esta declaración es equivalente a [ cita requerida ] la existencia de una clase apropiada de cardenales κ tal que κ < κ = κ . La última identidad es equivalente a κ = λ + = 2 λ para algunos λ , o κ es fuertemente inaccesible .
Relación con los modelos primos
La noción de modelo saturado es dual con la noción de modelo primo de la siguiente manera: sea T una teoría contable en un lenguaje de primer orden (es decir, un conjunto de oraciones mutuamente consistentes en ese lenguaje) y sea P un primo modelar de T . Entonces P admite una incrustación primaria en cualquier otro modelo de T . La noción equivalente para los modelos saturados es que cualquier modelo "razonablemente pequeño" de T está integrado de forma elemental en un modelo saturado, donde "razonablemente pequeño" significa cardinalidad no mayor que la del modelo en el que se insertará. Cualquier modelo saturado también es homogéneo . Sin embargo, mientras que para las teorías contables existe un modelo primo único, los modelos saturados son necesariamente específicos de una cardinalidad particular. Dados ciertos supuestos de la teoría de conjuntos, existen modelos saturados (aunque de cardinalidad muy grande) para teorías arbitrarias. Para λ - teorías estables , existen modelos saturados de cardinalidad λ .
Referencias
- Chang, CC ; Keisler, teoría del modelo HJ . Tercera edicion. Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. xvi + 650 págs. ISBN 0-444-88054-2
- R. Goldblatt (1998). Conferencias sobre los hiperrealistas. Una introducción al análisis no estándar. Saltador.
- Marker, David (2002). Teoría de modelos: una introducción . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98760-6
- Poizat, Bruno; Trans: Klein, Moses (2000), Un curso de teoría de modelos , Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98655-3
- Sacks, Gerald E. (1972), teoría de modelos saturados , WA Benjamin, Inc., Reading, Mass., MR 0398817