En matemáticas , especialmente en la teoría de conjuntos , se dice que dos conjuntos ordenados X e Y tienen el mismo tipo de orden si son de orden isomórfico , es decir, si existe una biyección (cada elemento coincide exactamente con uno en el otro conjunto)de modo que tanto f como su inverso son monótonos (conservando el orden de los elementos). En el caso especial cuando X está totalmente ordenado , la monotonicidad de f implica la monotonicidad de su inverso.
Por ejemplo, el conjunto de enteros y el conjunto de enteros pares tienen el mismo tipo de orden, porque el mapeoes una biyección que conserva el orden. Pero el conjunto de números enteros y el conjunto de números racionales (con el orden estándar) no tienen el mismo tipo de orden, porque aunque los conjuntos son del mismo tamaño (ambos son infinitos numerables ), no existe una biyectiva que preserve el orden. mapeo entre ellos. A estos dos tipos de orden podemos agregar dos más: el conjunto de enteros positivos (que tiene un elemento mínimo) y el de enteros negativos (que tiene un elemento mayor). El intervalo abierto (0, 1) de los racionales es un orden isomorfo a los racionales (ya que, por ejemplo,es una biyección estrictamente creciente de la primera a la segunda); los racionales contenidos en los intervalos semicerrados [0,1) y (0,1], y el intervalo cerrado [0,1], son tres ejemplos de tipos de orden adicionales.
Dado que la equivalencia de orden es una relación de equivalencia , divide la clase de todos los conjuntos ordenados en clases de equivalencia .
Tipo de orden de pedidos de pozos
Cada conjunto bien ordenado es equivalente en orden a exactamente un número ordinal [ cita requerida ] . Los números ordinales se toman como los representantes canónicos de sus clases, por lo que el tipo de orden de un conjunto bien ordenado se suele identificar con el ordinal correspondiente. Por ejemplo, el tipo de orden de los números naturales es ω .
El tipo de orden de un conjunto bien ordenado V se expresa a veces como ord ( V ) . [1]
Por ejemplo, considere el conjunto V de ordinales pares menores que ω ⋅ 2 + 7 :
Su tipo de orden es:
porque hay 2 listas de conteo separadas y 4 en secuencia al final.
Numeros racionales
Cualquier conjunto contable totalmente ordenado se puede mapear de forma inyectiva en los números racionales de una manera que preserve el orden. Cualquier conjunto denso, totalmente ordenado y contable, sin elementos más altos ni más bajos, se puede mapear biyectivamente en los números racionales de una manera que preserve el orden.
Notación
El tipo de orden de los racionales generalmente se denota. Si un conjunto S tiene tipo de orden, el tipo de orden del dual de S (el orden inverso) se denota.