En álgebra conmutativa , un álgebra de étale sobre un campo es un tipo especial de álgebra , uno que es isomorfo a un producto finito de extensiones de campo separables finitas. Estos también pueden ser llamados álgebras separables , [ cita requerida ] aunque el último término a veces se usa en un sentido más amplio.
Definiciones
Sea K un campo . Deje que L sea un conmutativa unital asociativo K -álgebra. Entonces L se llama un étale K -álgebra si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: [1]
- para alguna extensión de campo E de K y algún entero no negativo n .
- para cualquier (o cada) cierre algebraico de K y algún entero no negativo n .
- L es isomorfo a un producto finito de extensiones de campo separables finitos de K .
- L es de dimensión finita sobre K , y la forma de traza Tr ( xy ) es no degenerada.
- El morfismo de los esquemas es un morfismo étale .
Ejemplos de
La -álgebra es étale porque es una extensión de campo separable finita.
La -álgebra no es étale, ya que .
Propiedades
Let G denota el grupo de Galois absoluto de K . A continuación, la categoría de étale K -álgebras es equivalente a la categoría de finito G conjuntos-con continua G -action. En particular, las étale álgebras de dimensión n se clasifican por clases de conjugación de homomorfismos continuos desde G hasta el grupo simétrico S n .
Notas
- ↑ ( Bourbaki 1990 , página AV28-30)
Referencias
- Bourbaki, N. (1990), Álgebra. II. Capítulos 4–7. , Elementos de Matemáticas, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-19375-8, MR 1080964
- Milne, James, teoría de campo http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf