En matemáticas, un álgebra separable es una especie de álgebra semisimple . Es una generalización a las álgebras asociativas de la noción de extensión de campo separable .
Definición y primeras propiedades
Un homomorfismo de anillo (de anillos unitales, pero no necesariamente conmutativos )
se llama separable (o una extensión separable ) si el mapa de multiplicación
admite una sección
mediante un homomorfismo σ de A - A - bimódulos . Tal sección σ está determinada por su valor
σ (1). La condición de que σ sea una sección de μ es equivalente a
y la condición de ser un homomorfismo de los bimódulos A - A es equivalente al siguiente requisito para cualquier a en A :
Tal elemento p se llama idempotente de separabilidad , ya que satisface.
Ejemplos de
Para cualquier anillo conmutativo R , el anillo (no conmutativo) de n- por- n matrices es un álgebra R separable . Para cualquier, un idempotente de separabilidad viene dado por , dónde denota la matriz elemental que es 0 excepto por la entrada en la posición ( i , j ), que es 1. En particular, esto muestra que los idempotentes de separabilidad no necesitan ser únicos.
Álgebras separables sobre un campo
Si es una extensión de campo , entonces L es separable como un K- álgebra asociativa si y solo si la extensión de campos es separable . Si L / K tiene un elemento primitivo con polinomio irreducible , entonces un idempotente de separabilidad viene dado por . Los tensorandos son bases duales para el mapa de trazas: sison los K -monomorfismos distintos de L en un cierre algebraico de K , la traza mapeo Tr de L en K se define por. El mapa de trazas y sus bases duales hacen explícito a L como un álgebra de Frobenius sobre K.
Más en general, las álgebra separables sobre un campo K se pueden clasificar como sigue: son los mismos que los productos finitos de las álgebra de matriz más de dimensión finita álgebra de división cuyos centros son de dimensión finita extensiones de campo separables del campo K . En particular: cada álgebra separable es en sí misma de dimensión finita. Si K es un campo perfecto --- por ejemplo, un campo de característica cero, o un campo finito, o un campo algebraicamente cerrado --- entonces cada extensión de K es separable de modo que K -álgebras separables son productos finitos de álgebras matriciales sobre de dimensión finita álgebra de división sobre el campo K . En otras palabras, si K es un campo perfecto, no hay diferencia entre un álgebra separable sobre K y una dimensión finita álgebra semisimple sobre K . Se puede demostrar mediante un teorema generalizado de Maschke que un K- álgebra A asociativa es separable si para cada extensión de campo el álgebra es semisimple.
Anillos de grupo
Si K es un anillo conmutativo y G es un grupo finito tal que el orden de G es invertible en K , entonces el anillo de grupo K [ G ] es un K -álgebra separable . [1] Un idempotente de separabilidad viene dado por.
Caracterizaciones equivalentes de separabilidad
Hay varias definiciones equivalentes de álgebras separables. Un K- álgebra A es separable si y solo si es proyectivo cuando se considera como un módulo izquierdo dede la forma habitual. [2] Además, un álgebra A es separable si y solo si es plano cuando se considera como un módulo derecho dede la forma habitual. Las extensiones separables también se pueden caracterizar por medio de extensiones divididas: A es separable de K si todas las secuencias breves y exactas de los módulos A - A que se dividen como módulos A - K también se dividen como módulos A - A. De hecho, esta condición es necesaria ya que el mapeo de multiplicaciónque surge en la definición anterior es un epimorfismo de bimódulo A - A , que se divide como un mapa de bimódulo A - K por el mapeo inverso derecho dada por . Lo contrario se puede probar mediante un uso juicioso del idempotente de separabilidad (de manera similar a la prueba del teorema de Maschke , aplicando sus componentes dentro y sin los mapas de división). [3]
De manera equivalente, los grupos de cohomología de Hochschild relativosde (R, S) en cualquier coeficiente bimódulo M es cero para n > 0. Son muchos los ejemplos de extensiones separables, incluidas las primeras álgebras separables donde R = álgebra separable y S = 1 veces el campo fundamental. Cualquier anillo R con elementos ayb que satisfagan ab = 1, pero ba diferente de 1, es una extensión separable sobre el subanillo S generado por 1 y bRa.
Relación con las álgebras de Frobenius
Se dice que un álgebra separable es fuertemente separable si existe un idempotente de separabilidad que es simétrico , lo que significa
Un álgebra es fuertemente separable si y solo si su forma de traza es no degenerada, convirtiendo así el álgebra en un tipo particular de álgebra de Frobenius llamada álgebra simétrica (que no debe confundirse con el álgebra simétrica que surge como el cociente del álgebra tensorial ).
Si K es conmutativo, A es un módulo K separable proyectivo generado finitamente , entonces A es un álgebra simétrica de Frobenius. [4]
Relación con extensiones formalmente unramificadas y formalmente étale
Cualquier extensión A / K separable de anillos conmutativos está formalmente sin ramificar . Lo contrario se cumple si A es un K- álgebra finita . [5] Un K- álgebra A plano separable (conmutativo) es formalmente étale . [6]
Resultados adicionales
Un teorema en el área es el de J. Cuadra de que una extensión separable de Hopf-Galois R | S ha generado de forma finita el módulo S natural R. Un hecho fundamental sobre una extensión separable R | S es que es una extensión semisimple izquierda o derecha: una secuencia corta y exacta de módulos R izquierdo o derecho que se divide como módulos S, se divide como módulos R. En términos del álgebra homológica relativa de G. Hochschild, se dice que todos los módulos R son proyectivos relativos (R, S). Por lo general, las propiedades relativas de los subanillos o extensiones de anillo, como la noción de extensión separable, sirven para promover teoremas que dicen que el sobreanillo comparte una propiedad del subanillo. Por ejemplo, una extensión separable R de un álgebra semisimple S tiene R semisimple, que se deriva de la discusión anterior.
Existe el célebre teorema de Jans de que un álgebra de grupos finitos A sobre un campo de característica p es de tipo de representación finita si y solo si su subgrupo p de Sylow es cíclico: la prueba más clara es notar este hecho para los grupos p, luego observe que el álgebra de grupo es una extensión separable de su álgebra B del subgrupo p de Sylow, ya que el índice es coprimo de la característica. La condición de separabilidad anterior implicará que cada módulo A M generado de forma finita es isomorfo a un sumando directo en su módulo inducido restringido. Pero si B tiene un tipo de representación finita, el módulo restringido es únicamente una suma directa de múltiplos de un número finito de indecomposibles, lo que induce a un número finito de módulos constituyentes indecomponibles de los cuales M es una suma directa. Por tanto, A es de tipo de representación finita si B lo es. Lo contrario se demuestra mediante un argumento similar que señala que cada subgrupo de álgebra B es un sumando directo de B-bimódulo de un álgebra de grupo A.
Referencias
- ↑ Ford (2017 , §4.2)
- ^ Reiner (2003 , p. 102)
- ^ Ford, 2017 y teorema 4.4.1
- ^ Endo y Watanabe (1967 , Teorema 4.2). Si A es conmutativa, la demostración es más simple, ver Kadison (1999 , Lema 5.11)
- ↑ Ford (2017 , Corolario 4.7.2, Teorema 8.3.6)
- ↑ Ford (2017 , Corolario 4.7.3)
- DeMeyer, F .; Ingraham, E. (1971). Álgebras separables sobre anillos conmutativos . Apuntes de clase en matemáticas. 181 . Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05371-2. Zbl 0215.36602 .
- Samuel Eilenberg y Tadasi Nakayama, Sobre la dimensión de módulos y álgebras. II. Álgebras de Frobenius y anillos cuasi-Frobenius , Nagoya Math. J. Volumen 9 (1955), 1-16.
- Endo, Shizuo; Watanabe, Yutaka (1967), "Sobre álgebras separables sobre un anillo conmutativo" , Osaka Journal of Mathematics , 4 : 233–242, MR 0227211
- Ford, Timothy J. (2017), Álgebras separables , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3770-1, MR 3618889
- Hirata, H .; Sugano, K. (1966), "Sobre extensiones semisimples y separables de anillos no conmutativos", J. Math. Soc. Japón , 18 : 360–373.
- Kadison, Lars (1999), Nuevos ejemplos de extensiones de Frobenius , University Lecture Series, 14 , Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090 / ulect / 014 , ISBN 0-8218-1962-3, MR 1690111
- Reiner, I. (2003), Órdenes máximas , Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Nueva serie, 28 , Oxford University Press , ISBN 0-19-852673-3, Zbl 1024.16008
- Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 38 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. Señor 1269324 . OCLC 36131259 .