En matemáticas , especialmente la teoría de grupos , dos elementos a y b de un grupo son conjugado si hay un elemento g en el grupo de tal manera que b = g -1 ag . Ésta es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia se denominan clases de conjugación .
Los miembros de la misma clase de conjugación no se pueden distinguir utilizando solo la estructura de grupo y, por lo tanto, comparten muchas propiedades. El estudio de clases de conjugación de grupos no abelianos es fundamental para el estudio de su estructura. [1] [2] Para un grupo abeliano , cada clase de conjugación es un conjunto que contiene un elemento ( conjunto singleton ).
Las funciones que son constantes para miembros de la misma clase de conjugación se denominan funciones de clase .
Definición
Sea G un grupo. Dos elementos un y b de G son conjugado , si existe un elemento g en G tal que la mordaza -1 = b . Se dice también que b es un conjugado de una y que una es un conjugado de b .
En el caso del grupo GL ( n ) de matrices invertibles , la relación de conjugación se llama similitud de matriz .
Se puede demostrar fácilmente que la conjugación es una relación de equivalencia y, por lo tanto, divide G en clases de equivalencia. (Esto significa que cada elemento del grupo pertenece a, precisamente, una clase de conjugación, y las clases Cl ( una ) y Cl ( b ) son iguales si y sólo si una y b son conjugado, y disjuntos lo contrario.) La clase de equivalencia que contiene el elemento a en G es
- Cl ( a ) = { gag −1 | g ∈ G }
y se llama la clase de conjugación de a . Lael número de clase de G es el número de clases de conjugación distintas (no equivalentes). Todos los elementos que pertenecen a la misma clase de conjugación tienen el mismoorden.
Se puede hacer referencia a las clases conjugadas describiéndolas, o más brevemente mediante abreviaturas como "6A", que significa "una cierta clase de conjugación de elementos de orden 6", y "6B" sería una clase de conjugación diferente de elementos de orden 6; la clase de conjugación 1A es la clase de conjugación de la identidad. En algunos casos, las clases de conjugación se pueden describir de manera uniforme; por ejemplo, en el grupo simétrico se pueden describir por estructura de ciclo.
Ejemplos de
El grupo simétrico S 3 , que consta de las 6 permutaciones de tres elementos, tiene tres clases de conjugación:
- sin cambios (abc → abc)
- transponer dos (abc → acb, abc → bac, abc → cba)
- una permutación cíclica de los tres (abc → bca, abc → cab)
Estas tres clases también corresponden a la clasificación de las isometrías de un triángulo equilátero .
El grupo simétrico S 4 , que consta de las 24 permutaciones de cuatro elementos, tiene cinco clases de conjugación, enumeradas con sus estructuras y órdenes de ciclo:
- (1) 4 sin cambios (1 elemento: {(1, 2, 3, 4)}). La única fila que contiene esta clase de conjugación se muestra como una fila de círculos negros en la tabla adyacente.
- (2) intercambiando dos (6 elementos: {(1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4)}). Las 6 filas que contienen esta clase de conjugación están resaltadas en verde en la tabla adyacente.
- (3) una permutación cíclica de tres (8 elementos: {(1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4)}). Las 8 filas que contienen esta clase de conjugación se muestran con letra normal (sin negrita ni resaltado en color) en la tabla adyacente.
- (4) una permutación cíclica de los cuatro (6 elementos: {(2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2 , 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2)}). Las 6 filas que contienen esta clase de conjugación están resaltadas en naranja en la tabla adyacente.
- (2) (2) intercambiando dos, y también los otros dos (3 elementos: {(2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2)}) . Las 3 filas que contienen esta clase de conjugación se muestran con entradas en negrita en la tabla adyacente.
Las rotaciones propias del cubo , que pueden caracterizarse por permutaciones de las diagonales del cuerpo, también se describen por conjugación en S 4 .
En general, el número de clases de conjugación en el grupo simétrico S n es igual al número de particiones enteras de n . Esto se debe a que cada clase de conjugación corresponde exactamente a una partición de {1, 2, ..., n } en ciclos , hasta la permutación de los elementos de {1, 2, ..., n }.
En general, el grupo euclidiano se puede estudiar mediante la conjugación de isometrías en el espacio euclidiano .
Propiedades
- El elemento de identidad es siempre el único elemento de su clase, es decir Cl ( e ) = { e }
- Si G es abeliano , entonces gag −1 = a para todo a y g en G ; así Cl ( un ) = { a } para todos una en G .
- Si dos elementos de una y b de G pertenecen a la misma clase de conjugación (es decir, si son conjugado), entonces tienen el mismo orden . Más generalmente, cada declaración acerca de una se puede traducir en una declaración acerca de b = gag -1 , porque el mapa φ ( x ) = GXG -1 es un automorfismo de G . Consulte la siguiente propiedad para ver un ejemplo.
- Si un y b son conjugado, entonces también lo son sus poderes una k y b k . (Prueba: si a = gbg −1 , entonces a k = ( gbg −1 ) ( gbg −1 )… ( gbg −1 ) = gb k g −1 .) Por lo tanto, tomar k- ésimo potencias da un mapa de clases de conjugación, y uno puede considerar qué clases de conjugación están en su preimagen. Por ejemplo, en el grupo simétrico, el cuadrado de un elemento de tipo (3) (2) (un ciclo de 3 y un ciclo de 2) es un elemento de tipo (3), por lo tanto, una de las clases de encendido de (3) es la clase (3) (2) (donde a es una clase de encendido de a k ).
- Un elemento a de G se encuentra en el centro Z ( G ) de G si y solo si su clase de conjugación tiene solo un elemento, a sí mismo. De manera más general, si C G ( a ) denota el centralizador de a en G , es decir, el subgrupo que consta de todos los elementos g tales que ga = ag , entonces el índice [ G : C G ( a )] es igual al número de elementos de la clase de conjugación de a (según el teorema del estabilizador de órbita ).
- Llevar y deja ser los enteros distintos que aparecen como longitudes de ciclos en el tipo de ciclo de (incluidos 1 ciclos). Dejar ser el número de ciclos de duración en para cada (así que eso ). Entonces el número de conjugados dees: [1]
Conjugado como acción grupal
Si definimos
- g. x = gxg −1
para cualquier par de elementos g y x en G , entonces tenemos una acción de grupo de G en G . Las órbitas de esta acción son las clases de conjugación, y el estabilizador de un elemento dado es el centralizador del elemento . [3]
De manera similar, podemos definir una acción de grupo de G en el conjunto de todos los subconjuntos de G , escribiendo
- g. S = gSg −1 ,
o en el conjunto de los subgrupos de G .
Ecuación de clase conjugada
Si G es un grupo finito , entonces para cualquier elemento del grupo a , los elementos de la clase de conjugación de a están en correspondencia biunívoca con las clases laterales del centralizador C G ( a ) . Esto se puede ver al observar que dos elementos b y c que pertenecen a la misma clase lateral (y, por lo tanto, b = cz para alguna z en el centralizador C G ( a ) ) dan lugar al mismo elemento cuando se conjuga a : bab −1 = cza ( cz ) −1 = czaz −1 c −1 = cazz −1 c −1 = cac −1 . Eso también se puede ver en el teorema del estabilizador de órbita , cuando se considera que el grupo actúa sobre sí mismo a través de la conjugación, de modo que las órbitas son clases de conjugación y los subgrupos de estabilizadores son centralizadores. Lo contrario también se mantiene.
Así, el número de elementos en la clase de conjugación de a es el índice [ G : C G ( a )] del centralizador C G ( a ) en G ; por tanto, el tamaño de cada clase de conjugación divide el orden del grupo.
Además, si elegimos un solo elemento representativo x i de cada clase de conjugación, inferimos de la disyunción de las clases de conjugación que | G | = ∑ i [ G : C G ( x i )] , donde C G ( x i ) es el centralizador del elemento x i . Observar que cada elemento del centro Z ( G ) forma una clase de conjugación que contiene solo a sí mismo da lugar a la ecuación de clase : [4]
- | G | = | Z ( G ) | + ∑ yo [ G : C G ( x i )]
donde la suma está sobre un elemento representativo de cada clase de conjugación que no está en el centro.
Conocimiento de los divisores del orden de grupo | G | a menudo se puede utilizar para obtener información sobre el orden del centro o de las clases de conjugación.
Ejemplo
Considere un finito p -Grupo G (es decir, un grupo con el fin p n , donde p es un número primo y n > 0 ). Vamos a demostrar que todo grupo p finito tiene un centro no trivial .
Dado que el orden de cualquier clase de conjugación de G debe dividir el orden de G , se deduce que cada clase de conjugación H i que no está en el centro también tiene algún orden de potencia de p k i , donde 0 < k i < n . Pero entonces la ecuación de clases requiere que | G | = p n = | Z ( G ) | + ∑ yo p k yo . De esto vemos que p debe dividir | Z ( G ) | , entonces | Z ( G ) | > 1 .
En particular, cuando n = 2, G es un grupo abeliano ya que para cualquier elemento del grupo a , a es de orden p o p 2 , si a es de orden p 2 , entonces G es isomorfo al grupo cíclico de orden p 2 , por lo tanto abeliano. Por otro lado, si cualquier elemento no trivial en G es de orden p , por lo tanto, según la conclusión anterior | Z ( G ) | > 1 , luego | Z ( G ) | = p > 1 o p 2 . Solo tenemos que considerar el caso cuando | Z ( G ) | = P > 1 , entonces no es un elemento b de G que no está en el centro de G . Tenga en cuenta que b es de orden p , por lo que el subgrupo de G generado por b contiene p elementos y, por lo tanto, es un subconjunto propio de C G ( b ) , porque C G ( b ) incluye todos los elementos de este subgrupo y el centro que no incluye contienen b pero al menos p elementos. Por tanto, el orden de C G ( b ) es estrictamente mayor que p , por lo tanto | C G ( b ) | = P 2 , por lo tanto, b es un elemento del centro de G . Por tanto, G es abeliano y de hecho isomorfo al producto directo de dos grupos cíclicos, cada uno de ellos de orden p .
Conjugado de subgrupos y subconjuntos generales
De manera más general, dado cualquier subconjunto S de G ( S no necesariamente un subgrupo), definimos un subconjunto T de G para que se conjugue con S si existe algo de g en G tal que T = gSg −1 . Podemos definir Cl ( S ) como el conjunto de todos los subconjuntos T de G tal que T es conjugado a S .
Un teorema de uso frecuente es que, dado cualquier subconjunto S de G , el índice de N ( S ) (el normalizador de S ) en G es igual al orden de Cl ( S ):
Esto se sigue ya que, si g y h están en G , entonces gSg −1 = hSh −1 si y solo si g −1 h está en N ( S ), en otras palabras, si y solo si g y h están en el mismo coset de N ( S ).
Note que esta fórmula generaliza la dada anteriormente para el número de elementos en una clase de conjugación (sea S = { a }).
Lo anterior es particularmente útil cuando se habla de subgrupos de G . Por tanto, los subgrupos se pueden dividir en clases de conjugación, con dos subgrupos pertenecientes a la misma clase si y solo si son conjugados. Los subgrupos conjugados son isomorfos , pero los subgrupos isomorfos no necesitan ser conjugados. Por ejemplo, un grupo abeliano puede tener dos subgrupos diferentes que son isomorfos, pero nunca se conjugan.
Interpretación geométrica
Las clases conjugadas en el grupo fundamental de un espacio topológico conectado por caminos se pueden considerar como clases de equivalencia de bucles libres bajo homotopía libre.
Clase conjugada y representaciones irreductibles en grupo finito
En cualquier grupo finito , el número de representaciones irreductibles distintas (no isomórficas) sobre los números complejos es precisamente el número de clases de conjugación.
Ver también
- Conjugación topológica
- FC-grupo
- Subgrupo cerrado conjugado
Notas
- ^ a b Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43334-9.
- ^ Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
- ^ Grillet (2007), p. 56
- ^ Grillet (2007), p. 57
Referencias
- Grillet, Pierre Antoine (2007). Álgebra abstracta . Textos de posgrado en matemáticas. 242 (2 ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-71567-4.
enlaces externos
- "Elementos conjugados" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]