Ejemplos de ecuaciones diferenciales

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Las ecuaciones diferenciales surgen en muchos problemas de física , ingeniería y otras ciencias. Los siguientes ejemplos muestran cómo resolver ecuaciones diferenciales en algunos casos simples cuando existe una solución exacta.

Las ecuaciones en la forma se llaman separables y se resuelven por y así . Antes de dividir por , es necesario verificar si hay soluciones estacionarias (también llamadas de equilibrio) que satisfagan .${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)g(y)}$${\displaystyle {\frac {dy}{g(y)}}=f(x)\,dx}$${\displaystyle \int {\frac {dy}{g(y)}}=\int f(x)\,dx}$${\ estilo de visualización g (y)}$${\displaystyle y={\text{const}}}$${\ estilo de visualización g (y) = 0}$

Una ecuación diferencial ordinaria lineal separable de primer orden debe ser homogénea y tiene la forma general

donde es alguna función conocida . Podemos resolver esto por separación de variables (moviendo los términos y a un lado y los términos t al otro lado),${\ estilo de visualización f (t)}$

Dado que la separación de variables en este caso implica dividir por y , debemos comprobar si la función constante y =0 es una solución de la ecuación original. Trivialmente, si y =0 entonces y′ =0, entonces y =0 es en realidad una solución de la ecuación original. Notamos que y = 0 no está permitido en la ecuación transformada.

Aquí, , entonces . Pero hemos verificado de forma independiente que y = 0 también es una solución de la ecuación original, por lo tanto ${\displaystyle e^{C}>0}$${\ estilo de visualización \ pm e ^ {C} \ neq 0}$

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