En matemáticas , la separación de variables (también conocida como el método de Fourier ) es cualquiera de varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales , en el que el álgebra permite reescribir una ecuación para que cada una de las dos variables ocurra en un lado diferente de la ecuación. .
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
Suponga que una ecuación diferencial se puede escribir en la forma
que podemos escribir más simplemente dejando :
Siempre que h ( y ) ≠ 0, podemos reorganizar los términos para obtener:
de modo que las dos variables x e y se han separado. dx (y dy ) se pueden ver, a un nivel simple, como una notación conveniente, que proporciona una útil ayuda mnemotécnica para ayudar con las manipulaciones. Una definición formal de dx como diferencial (infinitesimal) es algo avanzada.
Notación alternativa
Aquellos a quienes no les gusta la notación de Leibniz pueden preferir escribir esto como
pero eso no logra que sea tan obvio por qué esto se llama "separación de variables". Integrar ambos lados de la ecuación con respecto a, tenemos
o equivalente,
debido a la regla de sustitución de integrales .
Si se pueden evaluar las dos integrales, se puede encontrar una solución a la ecuación diferencial. Observe que este proceso efectivamente nos permite tratar la derivada como una fracción que se puede separar. Esto nos permite resolver ecuaciones diferenciales separables de manera más conveniente, como se demuestra en el siguiente ejemplo.
(Tenga en cuenta que no es necesario utilizar dos constantes de integración , en la ecuación (1) como en
porque una sola constante es equivalente.)
Ejemplo
El crecimiento de la población a menudo se modela mediante la ecuación diferencial
dónde es la población con respecto al tiempo , es la tasa de crecimiento, y es la capacidad de carga del medio ambiente.
La separación de variables se puede utilizar para resolver esta ecuación diferencial.
Para evaluar la integral del lado izquierdo, simplificamos la fracción
y luego, descomponemos la fracción en fracciones parciales
Así tenemos
Dejar .
Por lo tanto, la solución de la ecuación logística es
Encontrar , dejar y . Entonces nosotros tenemos
Señalando que y resolviendo para A obtenemos
Generalización de EDO separables al enésimo orden
Al igual que se puede hablar de una EDO separable de primer orden, se puede hablar de una EDO separable de segundo, tercer o n -ésimo orden. Considere la EDO separable de primer orden:
Alternativamente, la derivada se puede escribir de la siguiente manera para subrayar que es un operador que trabaja en la función desconocida, y :
Por lo tanto, cuando se separan variables para ecuaciones de primer orden, de hecho se mueve el denominador dx del operador al lado de la variable x , y el d ( y ) se deja al lado de la variable y . El operador de segunda derivada, por analogía, se desglosa de la siguiente manera:
El tercer, cuarto y n th derivados operadores se descomponen en la misma manera. Por lo tanto, al igual que una EDO separable de primer orden, es reducible a la forma
una EDO separable de segundo orden es reducible a la forma
y una EDO separable de enésimo orden es reducible a
Ejemplo
Considere la ecuación diferencial simple de segundo orden no lineal:
Ecuaciones diferenciales parciales
El método de separación de variables también se utiliza para resolver una amplia gama de ecuaciones diferenciales parciales lineales con condiciones de contorno e iniciales, como la ecuación del calor , ecuación de onda , ecuación de Laplace , ecuación de Helmholtz y ecuación biarmónica .
El método analítico de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales parciales también se ha generalizado en un método computacional de descomposición en estructuras invariantes que se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. [1]
Ejemplo: caso homogéneo
Considere la ecuación de calor unidimensional . La ecuación es
( 1 )
La variable u denota temperatura. La condición de frontera es homogénea, es decir
( 2 )
Intentemos encontrar una solución que no sea idénticamente cero que satisfaga las condiciones de contorno pero con la siguiente propiedad: u es un producto en el que la dependencia de u en x , t está separada, es decir:
( 3 )
Sustituyendo u de nuevo en la ecuación ( 1 ) y usando la regla del producto ,
( 4 )
Dado que el lado derecho depende solo de x y el lado izquierdo solo de t , ambos lados son iguales a algún valor constante −λ. Por lo tanto:
( 5 )
y
( 6 )
−λ aquí es el valor propio para ambos operadores diferenciales, y T ( t ) y X ( x ) son funciones propias correspondientes .
Ahora mostraremos que las soluciones para X ( x ) para valores de λ ≤ 0 no pueden ocurrir:
Suponga que λ <0. Entonces existen números reales B , C tales que
De ( 2 ) obtenemos
( 7 )
y por lo tanto B = 0 = C lo que implica que u es idénticamente 0.
Suponga que λ = 0. Entonces existen números reales B , C tales que
De ( 7 ) concluimos de la misma manera que en 1 que u es idénticamente 0.
Por lo tanto, debe darse el caso de que λ> 0. Entonces existen números reales A , B , C tales que
y
De ( 7 ) obtenemos C = 0 y que para algún entero positivo n ,
Esto resuelve la ecuación del calor en el caso especial de que la dependencia de u tenga la forma especial de ( 3 ).
En general, la suma de las soluciones de ( 1 ) que satisfacen las condiciones de contorno ( 2 ) también satisface ( 1 ) y ( 3 ). Por tanto, se puede dar una solución completa como
donde D n son coeficientes determinados por la condición inicial.
Dada la condición inicial
podemos obtener
Esta es la expansión de la serie sinusoidal de f ( x ). Multiplicar ambos lados cone integrar sobre [0, L ] da como resultado
Este método requiere que las funciones propias X , aquí, son ortogonales y completos . En general, esto está garantizado por la teoría de Sturm-Liouville .
Ejemplo: caso no homogéneo
Suponga que la ecuación no es homogénea,
( 8 )
con la condición de contorno igual que ( 2 ).
Expanda h ( x, t ), u ( x , t ) yf ( x ) en
( 9 )
( 10 )
( 11 )
donde h n ( t ) y b n pueden calcularse por integración, mientras que u n ( t ) debe determinarse.
Sustituimos ( 9 ) y ( 10 ) de nuevo a ( 8 ) y considerando la ortogonalidad de las funciones seno obtenemos
que son una secuencia de ecuaciones diferenciales lineales que se pueden resolver fácilmente con, por ejemplo, la transformada de Laplace o el factor de integración . Finalmente, podemos conseguir
Si la condición de frontera no es homogénea, entonces la expansión de ( 9 ) y ( 10 ) ya no es válida. Uno tiene que encontrar una función v que satisfaga solo la condición de frontera y restarla de u . La función uv entonces satisface la condición de contorno homogénea y se puede resolver con el método anterior.
Ejemplo: derivados mixtos
Para algunas ecuaciones que involucran derivadas mixtas, la ecuación no se separa tan fácilmente como lo hizo la ecuación de calor en el primer ejemplo anterior, pero no obstante, se puede aplicar la separación de variables. Considere la ecuación biharmónica bidimensional
Procediendo de la manera habitual, buscamos soluciones de la forma
y obtenemos la ecuación
Escribiendo esta ecuación en la forma
vemos que la derivada con respecto a X y Y elimina los términos primero y último, de manera que
es decir, F ( x ) o G ( y ) deben ser una constante, digamos −λ. Esto implica además que o son constantes. Volviendo a la ecuación para X e Y , tenemos dos casos
y
que pueden resolverse considerando los casos separados para y notando que .
Coordenadas curvilíneas
En las coordenadas curvilíneas ortogonales , la separación de variables todavía se puede utilizar, pero en algunos detalles es diferente a la de las coordenadas cartesianas. Por ejemplo, la regularidad o la condición periódica pueden determinar los valores propios en lugar de las condiciones de contorno. Ver armónicos esféricos, por ejemplo.
Aplicabilidad
Ecuaciones diferenciales parciales
Para muchas PDE, como la ecuación de onda, la ecuación de Helmholtz y la ecuación de Schrodinger, la aplicabilidad de la separación de variables es el resultado del teorema espectral . En algunos casos, la separación de variables puede no ser posible. La separación de variables puede ser posible en algunos sistemas de coordenadas pero no en otros, [2] y qué sistemas de coordenadas permiten la separación depende de las propiedades de simetría de la ecuación. [3] A continuación se muestra un esquema de un argumento que demuestra la aplicabilidad del método a ciertas ecuaciones lineales, aunque el método preciso puede diferir en casos individuales (por ejemplo, en la ecuación biarmónica anterior).
Considere un problema de valor límite inicial para una función en en dos variables:
dónde es un operador diferencial con respecto a y es un operador diferencial con respecto a con datos de límites:
- por
- por
dónde es una función conocida.
Buscamos soluciones de la forma . Dividiendo el PDE por da
El lado derecho depende solo de y el lado izquierdo solo en entonces ambos deben ser iguales a una constante , que da dos ecuaciones diferenciales ordinarias
que podemos reconocer como problemas de valores propios para los operadores de y . Si es un operador compacto y autoadjunto en el espacio junto con las condiciones de contorno relevantes, entonces por el teorema espectral existe una base para que consta de funciones propias para . Deje que el espectro de ser y deja ser una función propia con valor propio . Luego, para cualquier función que en cada momento es cuadrado integrable con respecto a , podemos escribir esta función como una combinación lineal de la . En particular, conocemos la solución Se puede escribir como
Para algunas funciones . En la separación de variables, estas funciones vienen dadas por soluciones a
Por tanto, el teorema espectral asegura que la separación de variables encontrará (cuando sea posible) todas las soluciones.
Para muchos operadores diferenciales, como , podemos demostrar que son autoadjuntos por integración por partes. Si bien estos operadores pueden no ser compactos, sus inversos (cuando existen) pueden serlo, como en el caso de la ecuación de onda, y estos inversos tienen las mismas funciones propias y valores propios que el operador original (con la posible excepción de cero). [4]
Matrices
La forma matricial de la separación de variables es la suma de Kronecker .
Como ejemplo, consideramos el Laplaciano discreto 2D en una cuadrícula regular :
dónde y son 1D TON Laplacianos en la x - y Y -INSTRUCCIONES, de manera correspondiente, yson las identidades de tamaños apropiados. Consulte el artículo principal Suma de Kronecker de laplacianos discretos para obtener más detalles.
Software
Algunos programas matemáticos pueden hacer separación de variables: Xcas [5] entre otros.
Ver también
- Ecuación diferencial inseparable
Notas
- ^ [1]
- ^ John Renze, Eric W. Weisstein , Separación de variables
- ^ Willard Miller (1984) Simetría y separación de variables , Cambridge University Press
- ^ David Benson (2007) Música: una oferta matemática , Cambridge University Press, Apéndice W
- ^ "Álgebra simbólica y matemáticas con Xcas" (PDF) .
Referencias
- Polyanin, Andrei D. (28 de noviembre de 2001). Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos . Boca Raton, FL: Chapman & Hall / CRC . ISBN 1-58488-299-9.
- Myint-U, Tyn; Debnath, Lokenath (2007). Ecuaciones diferenciales parciales lineales para científicos e ingenieros . Boston, MA: Birkhäuser Boston . doi : 10.1007 / 978-0-8176-4560-1 . ISBN 978-0-8176-4393-5.
- Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 140 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
enlaces externos
- "Método de Fourier" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- John Renze, Eric W. Weisstein , Separación de variables ( ecuación diferencial ) en MathWorld .
- Métodos de separación generalizada y funcional de variables en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas
- Ejemplos de separación de variables para resolver PDE
- "Una breve justificación de la separación de variables"