En matemáticas, una línea de salto o una línea excepcional de un paquete vectorial sobre el espacio proyectivo es una línea proyectiva en el espacio proyectivo donde el paquete vectorial tiene un comportamiento excepcional, en otras palabras, la estructura de su restricción a la línea "salta". Las líneas de salto fueron introducidas por RLE Schwarzenberger ( 1961 ). Las líneas de salto de un paquete de vectores forman un subconjunto cerrado adecuado del Grassmanniano de todas las líneas del espacio proyectivo.
El teorema de Birkhoff-Grothendieck clasifica los paquetes de vectores n- dimensionales sobre una línea proyectiva como correspondientes a n- tuplas desordenadas de números enteros. Este fenómeno no puede generalizarse a espacios proyectivos de dimensiones superiores, es decir, no se puede descomponer un paquete arbitrario en términos de una suma de potencias de Whitney del paquete tautológico , o de hecho, de paquetes de líneas en general. Aún así, se puede obtener información de este tipo utilizando el siguiente método. Dado un paquete en, , podemos tomar una línea en , o equivalentemente, un subespacio bidimensional de . Esto forma una variedad equivalente a incrustado en , entonces podemos la restricción de a , y se descompondrá por el teorema de Birkhoff-Grothendieck como una suma de potencias del paquete tautológico. Se puede demostrar que la tupla única de enteros especificada por esta división es la misma para una elección de línea "genérica". Más técnicamente, hay una subvariedad abierta no vacía del Grassmannian de líneas en, con descomposición del mismo tipo. Las líneas en las que la descomposición difiere de este tipo genérico se denominan "líneas de salto". Si el paquete es genéricamente trivial a lo largo de las líneas, entonces las líneas de salto son precisamente las líneas tales que la restricción no es trivial.
Ejemplo
Suponga que V es un espacio vectorial complejo de 4 dimensiones con una forma simétrica sesgada no degenerada. Hay una parada de 2 paquete del vector sobre el espacio proyectivo complejo 3-dimensional asociado a V , que asigna a cada línea L de V la 2-dimensional espacio vectorial L ⊥ / L . Entonces, un plano de V corresponde a una línea de salto de este conjunto de vectores si y solo si es isótropo para la forma simétrica sesgada.
Referencias
- Mulase, Motohico (1979), "Polos de instantones y líneas de salto de paquetes de vectores algebraicos en P³" , Academia de Japón. Actas. Serie A. Ciencias matemáticas , 55 (5): 185–189, ISSN 0386-2194 , MR 0533544
- Schwarzenberger, RLE (1961), "Paquetes de vectores sobre superficies algebraicas", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 11 : 601–622, doi : 10.1112 / plms / s3-11.1.601 , ISSN 0024-6115 , MR 0137711
- Schwarzenberger, RLE (1961), "Paquetes de vectores en el plano proyectivo", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 11 : 623–640, doi : 10.1112 / plms / s3-11.1.623 , ISSN 0024-6115 , MR 0137712