En matemáticas , un conjunto de líneas expresa el concepto de una línea que varía de un punto a otro de un espacio. Por ejemplo, una curva en el plano que tiene una línea tangente en cada punto determina una línea variable: el paquete tangente es una forma de organizarlas. Más formalmente, en topología algebraica y topología diferencial, un paquete de líneas se define como un paquete de vectores de rango 1. [1]
Los haces de líneas se especifican eligiendo un espacio vectorial unidimensional para cada punto del espacio de manera continua. En aplicaciones topológicas, este espacio vectorial suele ser real o complejo. Los dos casos muestran un comportamiento fundamentalmente diferente debido a las diferentes propiedades topológicas de los espacios vectoriales reales y complejos: si el origen se elimina de la línea real, entonces el resultado es el conjunto de matrices reales invertibles 1 × 1 , que es homotopía equivalente a un espacio discreto de dos puntos contrayendo los reales positivos y negativos cada uno en un punto; mientras que al eliminar el origen del plano complejo se obtienen las matrices complejas invertibles 1 × 1, que tienen el tipo de homotopía de un círculo.
Desde la perspectiva de la teoría de la homotopía , un haz de líneas real se comporta, por tanto, de forma muy parecida a un haz de fibras con una fibra de dos puntos, es decir, como una doble cubierta . Un caso especial de esto es la doble cubierta orientable de una variedad diferenciable , donde el haz de líneas correspondiente es el haz determinante del haz tangente (ver más abajo). La tira de Möbius corresponde a una doble cobertura del círculo (el mapeo θ → 2θ) y al cambiar la fibra, también se puede considerar que tiene una fibra de dos puntos, el intervalo unitario como una fibra o la línea real.
Los paquetes de líneas complejas están estrechamente relacionados con los paquetes circulares . Hay algunos famosos, por ejemplo, las fibraciones de Hopf de esferas a esferas.
En geometría algebraica , una gavilla invertible (es decir, gavilla localmente libre de rango uno) a menudo se denomina haz de líneas .
Cada paquete de líneas surge de un divisor con las siguientes condiciones
(I) Si X es un esquema reducido e irreducible, entonces cada paquete de líneas proviene de un divisor.
(II) Si X es un esquema proyectivo, entonces se cumple el mismo enunciado.
El paquete tautológico en el espacio proyectivo
Uno de los paquetes de líneas más importantes en geometría algebraica es el paquete de líneas tautológicas en el espacio proyectivo . La proyectivización P ( V ) de un espacio vectorial V sobre un campo k se define como el cociente depor la acción del grupo multiplicativo k × . Por lo tanto, cada punto de P ( V ) corresponde a una copia de k × , y estas copias de k × pueden ensamblarse en un paquete de k × sobre P ( V ). k × difiere de k solo en un solo punto, y al unir ese punto a cada fibra, obtenemos un haz de líneas en P ( V ). Este conjunto de líneas se denomina conjunto de líneas tautológicas . Este paquete de líneas a veces se denota ya que corresponde al dual de la gavilla retorcida de Serre .
Mapas al espacio proyectivo
Supongamos que X es un espacio y que L es un haz de línea en X . Una sección global de L es una función s: X → L tal que si p: L → X es la proyección natural, entonces ps = id X . En un pequeño vecindario U en X en el que L es trivial, el espacio total del haz de líneas es el producto de U y el campo subyacente k , y la sección s se restringe a una función U → k . Sin embargo, los valores de s dependen de la elección de la trivialización, por lo que se determinan solo hasta la multiplicación por una función que no desaparece en ninguna parte.
Las secciones globales determinan mapas para espacios proyectivos de la siguiente manera: Al elegir r + 1, no todos los puntos cero en una fibra de L, se elige una fibra del haz de líneas tautológicas en P r , por lo que se elige r + 1 secciones globales de L que no desaparecen simultáneamente. determina un mapa de X al espacio proyectivo P r . Este mapa envía las fibras de L a las fibras del dual del haz tautológico. Más específicamente, supongamos que s 0 , ..., s r son secciones globales de L . En un pequeño vecindario U en X , estas secciones determinan funciones con valor k en U cuyos valores dependen de la elección de la trivialización. Sin embargo, se determinan hasta la multiplicación simultánea por una función distinta de cero, por lo que sus relaciones están bien definidas. Es decir, sobre un punto x , los valores s 0 ( x ), ..., s r ( x ) no están bien definidos porque un cambio en la trivialización los multiplicará cada uno por una constante distinta de cero λ. Pero los multiplicará por la misma constante λ, por lo que las coordenadas homogéneas [ s 0 ( x ): ...: s r ( x )] están bien definidas siempre que las secciones s 0 , ..., s r no desaparecen simultáneamente en x . Por lo tanto, si las secciones se desvanecen no simultáneamente, determinan una forma [ s 0 : ...: s r ], que da un mapa de X a P r , y la retirada de la dual del haz tautológica bajo este mapa es L . De esta forma, el espacio proyectivo adquiere una propiedad universal .
La forma universal a determinar un mapa de espacio proyectivo es asignar al projectivization del espacio vectorial de todas las secciones de L . En el caso topológico, hay una sección que no desaparece en cada punto que se puede construir utilizando una función de relieve que desaparece fuera de una pequeña vecindad del punto. Debido a esto, el mapa resultante se define en todas partes. Sin embargo, el codominio suele ser demasiado grande para ser útil. Lo contrario es cierto en los entornos algebraico y holomórfico. Aquí, el espacio de las secciones globales es a menudo de dimensión finita, pero puede que no haya ninguna sección global que no desaparezca en un punto dado. (Como en el caso en el que este procedimiento construye un lápiz de Lefschetz ). De hecho, es posible que un paquete no tenga secciones globales distintas de cero; este es el caso del paquete de líneas tautológicas. Cuando el paquete de líneas es suficientemente amplio, esta construcción verifica el teorema de incrustación de Kodaira .
Paquetes de determinantes
En general, si V es un haz de vectores en un espacio X , con una dimensión de fibra constante n , la n -ésima potencia exterior de V tomada fibra por fibra es un haz de líneas, llamado haz de líneas determinante . Esta construcción se aplica en particular al haz cotangente de un colector liso . El conjunto determinante resultante es responsable del fenómeno de las densidades de tensores , en el sentido de que para una variedad orientable tiene una sección global que no desaparece, y sus poderes tensoriales con cualquier exponente real pueden definirse y usarse para 'torcer' cualquier conjunto vectorial por tensor producto .
La misma construcción (teniendo el poder exterior superior) se aplica a un finitamente generado módulo proyectivo M sobre un dominio noetheriano y el módulo invertible resultante se denomina el módulo determinante de M .
Clases de características, paquetes universales y espacios de clasificación.
La primera clase Stiefel-Whitney clasifica paquetes de líneas reales suaves; en particular, la colección de (clases de equivalencia de) haces de líneas reales está en correspondencia con elementos de la primera cohomología con coeficientes Z / 2 Z ; esta correspondencia es de hecho un isomorfismo de grupos abelianos (las operaciones de grupo son el producto tensorial de los haces de líneas y la adición habitual en la cohomología). De manera análoga, la primera clase de Chern clasifica los haces de líneas complejas lisas en un espacio, y el grupo de haces de líneas es isomorfo a la segunda clase de cohomología con coeficientes enteros. Sin embargo, los paquetes pueden tener estructuras lisas equivalentes (y por lo tanto la misma primera clase Chern) pero diferentes estructuras holomórficas. Los enunciados de la clase Chern se prueban fácilmente usando la secuencia exponencial de poleas en el colector.
Uno puede ver el problema de clasificación de manera más general desde un punto de vista teórico de la homotopía. Hay un paquete universal para paquetes de líneas reales y un paquete universal para paquetes de líneas complejos. Según la teoría general sobre la clasificación de espacios , la heurística consiste en buscar espacios contractuales sobre los que existan acciones grupales de los respectivos grupos C 2 y S 1 , que sean acciones libres. Esos espacios pueden servir como paquetes principales universales y los cocientes de las acciones como espacios de clasificación BG . En estos casos podemos encontrarlos explícitamente, en los análogos de dimensión infinita del espacio proyectivo real y complejo .
Por tanto, el espacio clasificador BC 2 es del tipo homotopía de RP ∞ , el espacio proyectivo real dado por una secuencia infinita de coordenadas homogéneas . Lleva el paquete de línea real universal; en términos de la teoría de la homotopía, eso significa que cualquier paquete de líneas reales L en un complejo CW X determina un mapa de clasificación de X a RP ∞ , lo que hace que L sea un paquete isomorfo al retroceso del paquete universal. Este mapa de clasificación se puede utilizar para definir la clase Stiefel-Whitney de L , en la primera cohomología de X con coeficientes Z / 2 Z , de una clase estándar en RP ∞ .
De manera análoga, el espacio proyectivo complejo CP ∞ lleva un paquete de líneas complejas universales. En este caso, los mapas de clasificación dan lugar a la primera clase Chern de X , en H 2 ( X ) (cohomología integral).
Existe otra teoría análoga con los haces de líneas cuaterniónicas (dimensión real cuatro). Esto da lugar a una de las clases Pontryagin , en cohomología tetradimensional real.
De esta manera, los casos fundamentales para la teoría de clases características dependen solo de paquetes de líneas. De acuerdo con un principio general de división, esto puede determinar el resto de la teoría (si no explícitamente).
Hay teorías de haces de líneas holomórficas en variedades complejas y poleas invertibles en geometría algebraica , que elaboran una teoría de haces de líneas en esas áreas.
Ver también
- Yo-paquete
- Paquete de línea amplio
Notas
- ^ Hartshorne (1975). Geometría algebraica, Arcata 1974 . pag. 7.
Referencias
- Michael Murray, Line Bundles , 2002 (enlace web en PDF)
- Robin Hartshorne . Geometría algebraica . Librería AMS, 1975. ISBN 978-0-8218-1429-1