En matemáticas , el teorema de Birkhoff-Grothendieck clasifica los paquetes de vectores holomórficos sobre la línea proyectiva compleja . En particular, cada paquete de vectores holomórficos sobrees una suma directa de haces de líneas holomórficas . El teorema fue probado por Alexander Grothendieck ( 1957 , Teorema 2.1), [1] y es más o menos equivalente a la factorización de Birkhoff introducida por George David Birkhoff ( 1909 ). [2]
Declaración
Más precisamente, el enunciado del teorema es el siguiente.
Cada paquete de vectores holomórficos en es holomórficamente isomórfico a una suma directa de haces de líneas:
La notación implica que cada sumando es un giro de Serre varias veces del paquete trivial . La representación es única hasta factores de permutación.
Generalización
El mismo resultado es válido en geometría algebraica para el paquete de vectores algebraicos sobre para cualquier campo . [3] También es válido paracon uno o dos puntos orbifold, y para cadenas de líneas proyectivas que se encuentran a lo largo de los nodos. [4]
Aplicaciones
Una aplicación de este teorema es que da una clasificación de todas las poleas coherentes en . Tenemos dos casos, paquetes de vectores y haces coherentes apoyados a lo largo de una subvariedad, por lo que donde n es el grado del punto graso en . Dado que las únicas subvariedades son los puntos, tenemos una clasificación completa de haces coherentes.
Ver también
Referencias
- ^ Grothendieck, Alexander (1957). "Sur la clasificación des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann". Revista Estadounidense de Matemáticas . 79 (1): 121-138. doi : 10.2307 / 2372388 . JSTOR 2372388 .
- ^ Birkhoff, George David (1909). "Puntos singulares de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias". Transacciones de la American Mathematical Society . 10 (4): 436–470. doi : 10.2307 / 1988594 . ISSN 0002-9947 . JFM 40.0352.02 . JSTOR 1988594 .
- ^ Hazewinkel, Michiel ; Martin, Clyde F. (1982). "Una breve demostración elemental del teorema de Grothendieck sobre paquetes de vectores algebraicos sobre la línea proyectiva" . Revista de álgebra pura y aplicada . 25 (2): 207–211. doi : 10.1016 / 0022-4049 (82) 90037-8 .
- ^ Martens, Johan; Thaddeus, Michael (2016). "Variaciones sobre un tema de Grothendieck". Compositio Mathematica . 152 : 62–98. arXiv : 1210.8161 . Código Bibliográfico : 2012arXiv1210.8161M . doi : 10.1112 / S0010437X15007484 . S2CID 119716554 .
Otras lecturas
- Okonek, C .; Schneider, M .; Spindler, H. (1980). Paquetes de vectores en espacios proyectivos complejos . Progreso en Matemáticas. Birkhäuser.