En la mecánica cuántica , las partículas idénticas (también llamadas partículas indistinguibles o indiscernibles ) son partículas que no se pueden distinguir unas de otras, ni siquiera en principio. Las especies de partículas idénticas incluyen, entre otras, partículas elementales (como electrones ), partículas subatómicas compuestas (como núcleos atómicos ), así como átomos y moléculas . Las cuasipartículas también se comportan de esta manera. Aunque todas las partículas indistinguibles conocidas solo existen a escala cuántica, no existe una lista exhaustiva de todos los tipos posibles de partículas ni un límite claro de aplicabilidad, como se explora en la estadística cuántica .
Hay dos categorías principales de partículas idénticas: bosones , que pueden compartir estados cuánticos , y fermiones , que no pueden (como se describe en el principio de exclusión de Pauli ). Ejemplos de bosones son fotones , gluones , fonones , núcleos de helio-4 y todos los mesones . Ejemplos de fermiones son electrones, neutrinos , quarks , protones , neutrones y núcleos de helio-3 .
El hecho de que las partículas puedan ser idénticas tiene importantes consecuencias en la mecánica estadística , donde los cálculos se basan en argumentos probabilísticos , que son sensibles a si los objetos en estudio son idénticos o no. Como resultado, las partículas idénticas exhiben un comportamiento estadístico marcadamente diferente al de las partículas distinguibles. Por ejemplo, la indistinguibilidad de las partículas se ha propuesto como una solución a la paradoja de la mezcla de Gibbs .
Distinguir entre partículas
Hay dos métodos para distinguir entre partículas. El primer método se basa en las diferencias en las propiedades físicas intrínsecas de las partículas, como la masa , la carga eléctrica y el giro . Si existen diferencias, es posible distinguir entre las partículas midiendo las propiedades relevantes. Sin embargo, es un hecho empírico que las partículas microscópicas de la misma especie tienen propiedades físicas completamente equivalentes. Por ejemplo, cada electrón del universo tiene exactamente la misma carga eléctrica; por eso es posible hablar de algo así como " la carga del electrón ".
Incluso si las partículas tienen propiedades físicas equivalentes, queda un segundo método para distinguir entre partículas, que es seguir la trayectoria de cada partícula. Siempre que la posición de cada partícula se pueda medir con precisión infinita (incluso cuando las partículas chocan), entonces no habría ambigüedad sobre qué partícula es cuál.
El problema con el segundo enfoque es que contradice los principios de la mecánica cuántica . Según la teoría cuántica, las partículas no poseen posiciones definidas durante los períodos entre mediciones. En cambio, se rigen por funciones de onda que dan la probabilidad de encontrar una partícula en cada posición. A medida que pasa el tiempo, las funciones de onda tienden a extenderse y superponerse. Una vez que esto sucede, resulta imposible determinar, en una medición posterior, cuál de las posiciones de las partículas corresponde a las medidas anteriormente. Entonces se dice que las partículas son indistinguibles.
Descripción mecánica cuántica
Estados simétricos y antisimétricos
Lo que sigue es un ejemplo para concretar la discusión anterior, utilizando el formalismo desarrollado en el artículo sobre la formulación matemática de la mecánica cuántica .
Sea n un conjunto completo de números cuánticos (discretos) para especificar estados de una sola partícula (por ejemplo, para el problema de la partícula en una caja , tome n como el vector de onda cuantificado de la función de onda). Para simplificar, considere un sistema compuesto de dos partículas que no interactúan entre sí. Suponga que una partícula está en el estado n 1 y la otra en el estado n 2 . Intuitivamente, el estado cuántico del sistema se escribe como
donde el orden de escritura del estado importa, como el estado escrito en primer lugar es para la partícula 1 y el estado escrito en segundo lugar es para la partícula 2 (entonces, si , entonces la partícula 1 ocupa el estado n 2 mientras que la partícula 2 ocupa el estado n 1 ). Esta es simplemente la forma canónica de construir una base para un espacio de producto tensorialdel sistema combinado de los espacios individuales. Esta expresión es válida para partículas distinguibles, sin embargo, no es apropiada para partículas indistinguibles ya que y como resultado del intercambio de partículas, generalmente hay estados diferentes.
- "la partícula 1 ocupa el estado n 1 y la partícula 2 ocupa el estado n 2 " ≠ "la partícula 1 ocupa el estado n 2 y la partícula 2 ocupa el estado n 1 ".
Dos estados son físicamente equivalentes solo si difieren como máximo en un factor de fase complejo. Para dos partículas indistinguibles, un estado antes del intercambio de partículas debe ser físicamente equivalente al estado después del intercambio, por lo que estos dos estados difieren como máximo en un factor de fase complejo. Este hecho sugiere que un estado para dos partículas indistinguibles (y que no interactúan) viene dado por las siguientes dos posibilidades: [1] [2] [3]
Los estados donde es una suma se conocen como simétricos , mientras que los estados que involucran la diferencia se denominan antisimétricos . Más completamente, los estados simétricos tienen la forma
mientras que los estados antisimétricos tienen la forma
Tenga en cuenta que si n 1 y n 2 son iguales, la expresión antisimétrica da cero, que no puede ser un vector de estado ya que no se puede normalizar. En otras palabras, más de una partícula idéntica no puede ocupar un estado antisimétrico (un estado antisimétrico solo puede estar ocupado por una partícula). Esto se conoce como el principio de exclusión de Pauli y es la razón fundamental detrás de las propiedades químicas de los átomos y la estabilidad de la materia .
Simetría de intercambio
La importancia de los estados simétricos y antisimétricos se basa en última instancia en evidencia empírica. Parece ser un hecho de la naturaleza que las partículas idénticas no ocupan estados de simetría mixta, como
En realidad, existe una excepción a esta regla, que se discutirá más adelante. Por otro lado, se puede demostrar que los estados simétrico y antisimétrico son en cierto sentido especiales, al examinar una simetría particular de los estados de partículas múltiples conocida como simetría de intercambio .
Defina un operador lineal P , llamado operador de intercambio. Cuando actúa sobre un producto tensorial de dos vectores de estado, intercambia los valores de los vectores de estado:
P es hermitiano y unitario . Debido a que es unitario, puede considerarse como un operador de simetría . Esta simetría puede describirse como la simetría bajo el intercambio de etiquetas unidas a las partículas (es decir, a los espacios de Hilbert de una sola partícula).
Claramente, (el operador de identidad), por lo que los valores propios de P son +1 y −1. Los vectores propios correspondientes son los estados simétrico y antisimétrico:
En otras palabras, los estados simétricos y antisimétricos permanecen esencialmente sin cambios bajo el intercambio de etiquetas de partículas: solo se multiplican por un factor de +1 o -1, en lugar de ser "rotados" en algún otro lugar del espacio de Hilbert. Esto indica que las etiquetas de las partículas no tienen significado físico, de acuerdo con la discusión anterior sobre la indistinguibilidad.
Se recordará que P es hermitiano. Como resultado, se puede considerar como un observable del sistema, lo que significa que, en principio, se puede realizar una medición para averiguar si un estado es simétrico o antisimétrico. Además, la equivalencia de las partículas indica que el hamiltoniano se puede escribir en una forma simétrica, como
Es posible demostrar que tales hamiltonianos satisfacen la relación de conmutación
Según la ecuación de Heisenberg , esto significa que el valor de P es una constante de movimiento. Si el estado cuántico es inicialmente simétrico (antisimétrico), seguirá siendo simétrico (antisimétrico) a medida que el sistema evoluciona. Matemáticamente, esto dice que el vector de estado está confinado a uno de los dos espacios propios de P , y no se le permite abarcar todo el espacio de Hilbert. Por lo tanto, ese espacio propio podría tratarse también como el espacio real de Hilbert del sistema. Esta es la idea detrás de la definición de espacio Fock .
Fermiones y bosones
La elección de simetría o antisimetría está determinada por la especie de partícula. Por ejemplo, los estados simétricos siempre deben usarse cuando se describen fotones o átomos de helio-4 , y los estados antisimétricos cuando se describen electrones o protones .
Las partículas que exhiben estados simétricos se llaman bosones . La naturaleza de los estados simétricos tiene consecuencias importantes para las propiedades estadísticas de los sistemas compuestos por muchos bosones idénticos. Estas propiedades estadísticas se describen como estadísticas de Bose-Einstein .
Las partículas que presentan estados antisimétricos se denominan fermiones . La antisimetría da lugar al principio de exclusión de Pauli , que prohíbe que fermiones idénticos compartan el mismo estado cuántico. Las estadísticas de Fermi-Dirac describen sistemas de muchos fermiones idénticos .
Las paraestadísticas también son posibles.
En ciertos sistemas bidimensionales, puede ocurrir una simetría mixta. Estas partículas exóticas se conocen como anónimas y obedecen a estadísticas fraccionarias . Existe evidencia experimental de la existencia de anones en el efecto Hall cuántico fraccional , un fenómeno observado en los gases de electrones bidimensionales que forman la capa de inversión de los MOSFET . Existe otro tipo de estadística, conocida como estadística de trenza , que se asocia con partículas conocidas como plecton .
El teorema de la estadística de espín relaciona la simetría de intercambio de partículas idénticas con su espín . Establece que los bosones tienen espín entero y los fermiones tienen espín medio entero. Los anones poseen giro fraccional.
N partículas
La discusión anterior se generaliza fácilmente al caso de N partículas. Supongamos que hay N partículas con números cuánticos n 1 , n 2 , ..., n N . Si las partículas son bosones, ocupan un estado totalmente simétrico , que es simétrico bajo el intercambio de dos etiquetas de partículas cualesquiera :
Aquí, la suma se toma sobre todos los diferentes estados bajo permutaciones p que actúan sobre N elementos. La raíz cuadrada que queda de la suma es una constante de normalización . La cantidad m n representa el número de veces que cada uno de los estados de una sola partícula n aparece en el estado de N -partículas . Nota que Σ n m n = N .
En la misma línea, los fermiones ocupan estados totalmente antisimétricos :
Aquí, sgn ( p ) es el signo de cada permutación (es decir Si se compone de un número par de transposiciones, y si es extraño). Tenga en cuenta que no haytérmino, porque cada estado de una sola partícula puede aparecer solo una vez en un estado fermiónico. De lo contrario, la suma volvería a ser cero debido a la antisimetría, lo que representa un estado físicamente imposible. Este es el principio de exclusión de Pauli para muchas partículas.
Estos estados se han normalizado para que
Medición
Suponga que hay un sistema de N bosones (fermiones) en el estado simétrico (antisimétrico)
y se realiza una medición en algún otro conjunto de observables discretos, m . En general, esto produce un resultado m 1 para una partícula, m 2 para otra partícula, y así sucesivamente. Si las partículas son bosones (fermiones), el estado después de la medición debe permanecer simétrico (antisimétrico), es decir
La probabilidad de obtener un resultado particular para la medición m es
Se puede demostrar que
que verifica que la probabilidad total es 1. La suma debe restringirse a valores ordenados de m 1 , ..., m N para garantizar que cada estado de múltiples partículas no se cuente más de una vez.
Representación de función de onda
Hasta ahora, la discusión ha incluido solo observables discretos. Puede extenderse a observables continuos, como la posición x .
Recuerde que un estado propio de un observable continuo representa un rango infinitesimal de valores del observable, no un valor único como ocurre con los observables discretos. Por ejemplo, si una partícula está en un estado | Psi ⟩, la probabilidad de encontrar en una región de volumen d 3 x circundante alguna posición x es
Como resultado, los autoestados continuos | x ⟩ se normalizan a la función delta en lugar de la unidad:
Los estados de múltiples partículas simétricos y antisimétricos se pueden construir a partir de estados propios continuos de la misma manera que antes. Sin embargo, es habitual utilizar una constante de normalización diferente:
Se puede escribir una función de onda de muchos cuerpos ,
donde las funciones de onda de una sola partícula se definen, como de costumbre, por
La propiedad más importante de estas funciones de onda es que el intercambio de dos de las variables de coordenadas cambia la función de onda solo con un signo más o menos. Esta es la manifestación de simetría y antisimetría en la representación de la función de onda:
La función de onda de muchos cuerpos tiene el siguiente significado: si el sistema está inicialmente en un estado con números cuánticos n 1 , ..., n N y se realiza una medición de posición, la probabilidad de encontrar partículas en volúmenes infinitesimales cerca de x 1 , x 2 , ..., x N es
¡El factor de N ! proviene de nuestra constante de normalización, que se ha elegido de modo que, por analogía con las funciones de onda de una sola partícula,
Debido a que cada integral corre sobre todos los valores posibles de x , ¡cada estado de múltiples partículas aparece N ! veces en la integral. En otras palabras, la probabilidad asociada con cada evento se distribuye uniformemente en N ! puntos equivalentes en el espacio integral. Debido a que generalmente es más conveniente trabajar con integrales no restringidas que restringidas, se ha elegido la constante de normalización para reflejar esto.
Finalmente, la función de onda antisimétrica se puede escribir como el determinante de una matriz , conocido como determinante de Slater :
El enfoque del operador y las paraestadísticas
El espacio Hilbert para las partículas están dadas por el producto tensorial . El grupo de permutación deactúa sobre este espacio permutando las entradas. Por definición, los valores esperados para un observable de las partículas indistinguibles deben ser invariantes bajo esta permutación. Esto significa que para todos y
o equivalentemente para cada
- .
Dos estados son equivalentes siempre que sus valores esperados coincidan para todos los observables. Si nos limitamos a los observables de partículas idénticas y, por lo tanto, observables que satisfacen la ecuación anterior, encontramos que los siguientes estados (después de la normalización) son equivalentes
- .
Las clases de equivalencia están en relación biyectiva con subespacios irreductibles de debajo .
Dos subespacios irreductibles obvios son el subespacio unidimensional simétrico / bosónico y el subespacio antisimétrico / fermiónico. Sin embargo, existen más tipos de subespacios irreductibles. Los estados asociados con estos otros subespacios irreductibles se denominan estados paraestaísticos . [4] Los cuadros jóvenes proporcionan una forma de clasificar todos estos subespacios irreductibles.
Propiedades estadísticas
Efectos estadísticos de la indistinguibilidad
La indistinguibilidad de las partículas tiene un efecto profundo en sus propiedades estadísticas. Para ilustrar esto, considere un sistema de N partículas distinguibles que no interactúan. Una vez más, denote n j el estado (es decir, números cuánticos) de la partícula j . Si las partículas tienen las mismas propiedades físicas, las n j se ejecutan en el mismo rango de valores. Sea ε ( n ) la energía de una partícula en el estado n . Como las partículas no interactúan, la energía total del sistema es la suma de las energías de una sola partícula. La función de partición del sistema es
donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura . Esta expresión se puede factorizar para obtener
dónde
Si las partículas son idénticas, esta ecuación es incorrecta. Considere un estado del sistema, descrito por los estados de una sola partícula [ n 1 , ..., n N ]. En la ecuación para Z , cada posible permutación de las n ocurre una vez en la suma, aunque cada una de estas permutaciones describe el mismo estado de múltiples partículas. Por lo tanto, se ha contado en exceso el número de estados.
Si se descuida la posibilidad de estados superpuestos, lo cual es válido si la temperatura es alta, entonces el número de veces que se cuenta cada estado es aproximadamente N !. La función de partición correcta es
Tenga en cuenta que esta aproximación de "alta temperatura" no distingue entre fermiones y bosones.
La discrepancia en las funciones de partición de partículas distinguibles e indistinguibles se conocía ya en el siglo XIX, antes del advenimiento de la mecánica cuántica. Conduce a una dificultad conocida como la paradoja de Gibbs . Gibbs demostró que en la ecuación Z = ξ N , la entropía de un gas ideal clásico es
donde V es el volumen del gas y f es alguna función de T solo. El problema con este resultado es que S no es extenso : si N y V se duplican, S no se duplica en consecuencia. Tal sistema no obedece a los postulados de la termodinámica .
Gibbs también mostró que usar Z = ξ N / N ! altera el resultado a
que es perfectamente extenso. Sin embargo, la razón de esta corrección de la función de partición permaneció oscura hasta el descubrimiento de la mecánica cuántica.
Propiedades estadísticas de bosones y fermiones
Existen diferencias importantes entre el comportamiento estadístico de bosones y fermiones, que se describen en las estadísticas de Bose-Einstein y Fermi-Dirac, respectivamente. En términos generales, los bosones tienden a agruparse en el mismo estado cuántico, que subyace a fenómenos como el láser , la condensación de Bose-Einstein y la superfluidez . Los fermiones, por otro lado, tienen prohibido compartir estados cuánticos, dando lugar a sistemas como el gas Fermi . Esto se conoce como el Principio de Exclusión de Pauli y es responsable de gran parte de la química, ya que los electrones en un átomo (fermiones) llenan sucesivamente los muchos estados dentro de las capas en lugar de que todos se encuentren en el mismo estado de energía más bajo.
Las diferencias entre el comportamiento estadístico de fermiones, bosones y partículas distinguibles se pueden ilustrar utilizando un sistema de dos partículas. Las partículas se designan A y B. Cada partícula puede existir en dos estados posibles, etiquetados y , que tienen la misma energía.
El sistema compuesto puede evolucionar con el tiempo, interactuando con un entorno ruidoso. Porque el y los estados son energéticamente equivalentes, ninguno de los dos está favorecido, por lo que este proceso tiene el efecto de aleatorizar los estados. (Esto se analiza en el artículo sobre entrelazamiento cuántico ). Después de algún tiempo, el sistema compuesto tendrá la misma probabilidad de ocupar cada uno de los estados disponibles. Luego se miden los estados de las partículas.
Si A y B son partículas distinguibles, entonces el sistema compuesto tiene cuatro estados distintos: , , , y . La probabilidad de obtener dos partículas en elel estado es 0,25; la probabilidad de obtener dos partículas en elel estado es 0,25; y la probabilidad de obtener una partícula en el estado y el otro en el estado es 0.5.
Si A y B son bosones idénticos, entonces el sistema compuesto tiene solo tres estados distintos: , , y . Cuando se realiza el experimento, la probabilidad de obtener dos partículas en elel estado ahora es 0.33; la probabilidad de obtener dos partículas en elel estado es 0,33; y la probabilidad de obtener una partícula en el estado y el otro en el estado es 0.33. Tenga en cuenta que la probabilidad de encontrar partículas en el mismo estado es relativamente mayor que en el caso distinguible. Esto demuestra la tendencia de los bosones a "agruparse".
Si A y B son fermiones idénticos, solo hay un estado disponible para el sistema compuesto: el estado totalmente antisimétrico . Cuando se realiza el experimento, una partícula siempre está en el estado y el otro está en el Expresar.
Los resultados se resumen en la Tabla 1:
Partículas | Ambos 0 | Ambos 1 | Uno 0 y uno 1 |
---|---|---|---|
Distinguible | 0,25 | 0,25 | 0,5 |
Bosones | 0,33 | 0,33 | 0,33 |
Fermiones | 0 | 0 | 1 |
Como puede verse, incluso un sistema de dos partículas exhibe diferentes comportamientos estadísticos entre partículas distinguibles, bosones y fermiones. En los artículos sobre estadísticas de Fermi-Dirac y estadísticas de Bose-Einstein , estos principios se extienden a un gran número de partículas, con resultados cualitativamente similares.
La clase de homotopía
Para comprender por qué las estadísticas de partículas funcionan de la manera en que lo hacen, tenga en cuenta primero que las partículas son excitaciones localizadas en puntos y que las partículas que están separadas como espacios espaciales no interactúan. En un piso d espacio dimensional M , en cualquier momento dado, la configuración de dos partículas idénticas se puede especificar como un elemento de M × M . Si no hay superposición entre las partículas, de modo que no interactúen directamente, entonces sus ubicaciones deben pertenecer al espacio [ M × M ] / {puntos coincidentes}, el subespacio con puntos coincidentes eliminados. El elemento ( x , y ) describe la configuración con la partícula I en x y la partícula II en y , mientras que ( y , x ) describe la configuración intercambiada. Con partículas idénticas, el estado descrito por ( x , y ) debería ser indistinguible del estado descrito por ( y , x ) . Ahora considere la clase de homotopía de caminos continuos desde ( x , y ) a ( y , x ) , dentro del espacio [ M × M ] / {puntos coincidentes} . Si M es R d donde d ≥ 3 , entonces esta clase de homotopía solo tiene un elemento. Si M es R 2 , entonces esta clase de homotopía tiene muchos elementos numerables (es decir, un intercambio en sentido antihorario en media vuelta, un intercambio en sentido antihorario en una vuelta y media, dos vueltas y media, etc., un intercambio en el sentido de las agujas del reloj en media vuelta , etc.). En particular, un intercambio de media vuelta en sentido antihorario no es homotópico de un intercambio de media vuelta en el sentido de las agujas del reloj. Por último, si M es R , entonces esta clase de homotopía está vacía.
Supongamos primero que d ≥ 3 . El espacio de cobertura universal de [ M × M ] / {puntos coincidentes}, que no es otro que [ M × M ] / {puntos coincidentes} en sí, solo tiene dos puntos que son físicamente indistinguibles de ( x , y ) , a saber ( x , y ) y ( y , x ) . Entonces, el único intercambio permitido es intercambiar ambas partículas. Este intercambio es una involución , por lo que su único efecto es multiplicar la fase por una raíz cuadrada de 1. Si la raíz es +1, los puntos tienen estadísticas de Bose, y si la raíz es −1, los puntos tienen estadísticas de Fermi.
En el caso M = R 2 , el espacio de cobertura universal de [ M × M ] / {puntos coincidentes} tiene un número infinito de puntos que son físicamente indistinguibles de ( x , y ) . Esto se describe por el grupo cíclico infinito generado al hacer un intercambio de media vuelta en sentido antihorario. A diferencia del caso anterior, realizar este intercambio dos veces seguidas no recupera el estado original; por lo que dicho intercambio puede generar genéricamente una multiplicación por exp ( iθ ) para cualquier θ real (por unitaridad , el valor absoluto de la multiplicación debe ser 1). A esto se le llama estadística anyonic . De hecho, incluso con dos partículas distinguibles , aunque ( x , y ) ahora se distingue físicamente de ( y , x ) , el espacio de cobertura universal todavía contiene infinitos puntos que son físicamente indistinguibles del punto original, ahora generado por un sentido antihorario. rotación de una vuelta completa. Este generador, entonces, da como resultado una multiplicación por exp ( iφ ). Este factor de fase aquí se llama estadísticas mutuas .
Finalmente, en el caso M = R , el espacio [ M × M ] / {puntos coincidentes} no está conectado, por lo que incluso si la partícula I y la partícula II son idénticas, aún se pueden distinguir mediante etiquetas como "la partícula en el izquierda "y" la partícula de la derecha ". Aquí no hay simetría de intercambio.
Ver también
- Teoría de cuasi-conjuntos
- Hipótesis de DeBroglie
Notas al pie
- ^ http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~pdh1001/thesis/node14.html
- ↑ Tuckerman (2010 , p. 385)
- ^ Liboff, Richard (2003). Introducción a la mecánica cuántica . Addison-Wesley. pag. 597. ISBN 978-0805387148.
- ^ Bach, Alexaner (1993). "Clasificación de partículas indistinguibles". Cartas de Europhysics . 21 (5): 515–520. Código Bibliográfico : 1993EL ..... 21..515B . doi : 10.1209 / 0295-5075 / 21/5/002 .
Referencias
- Tuckerman, Mark (2010), Mecánica estadística , ISBN 978-0198525264
enlaces externos
- Intercambio de partículas idénticas y posiblemente indistinguibles por John S. Denker
- Identidad e individualidad en la teoría cuántica ( Enciclopedia de Filosofía de Stanford )
- Estados de muchos electrones en E. Pavarini, E. Koch y U. Schollwöck: fenómenos emergentes en materia correlacionada, Jülich 2013, ISBN 978-3-89336-884-6