Función de onda

Descripción matemática del estado cuántico de un sistema.

Comparación de las concepciones de los osciladores armónicos cuánticos y clásicos para una sola partícula sin espín. Los dos procesos difieren enormemente. El proceso clásico (A – B) se representa como el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria. El proceso cuántico (C – H) no tiene tal trayectoria. Más bien, se representa como una ola; aquí, el eje vertical muestra la parte real (azul) y la parte imaginaria (rojo) de la función de onda. Los paneles (C – F) muestran cuatro soluciones de ondas estacionarias diferentes de la ecuación de Schrödinger . Los paneles (G – H) muestran además dos funciones de onda diferentes que son soluciones de la ecuación de Schrödinger pero no ondas estacionarias.

Una función de onda en física cuántica es una descripción matemática del estado cuántico de un sistema cuántico aislado . La función de onda es una amplitud de probabilidad de valor complejo , y las probabilidades de los posibles resultados de las mediciones realizadas en el sistema pueden derivarse de ella. Los símbolos más común para una función de onda son las letras griegas Psi y Ψ (minúscula y el capital psi , respectivamente).

La función de onda es una función de los grados de libertad correspondientes a un conjunto máximo de observables conmutados . Una vez que se elige dicha representación, la función de onda se puede derivar del estado cuántico.

Para un sistema dado, la elección de qué grados de libertad de uso de conmutación al trabajo no es única y, en consecuencia, el dominio de la función de onda tampoco lo es. Por ejemplo, puede tomarse como una función de todas las coordenadas de posición de las partículas sobre el espacio de posición, o los momentos de todas las partículas sobre el espacio de momento ; los dos están relacionados por una transformada de Fourier . Algunas partículas, como los electrones y los fotones , tienen un espín distinto de cero , y la función de onda para tales partículas incluye el espín como un grado de libertad intrínseco y discreto; También se pueden incluir otras variables discretas, como isospin. Cuando un sistema tiene grados internos de libertad, la función de onda en cada punto de los grados continuos de libertad (p. Ej., Un punto en el espacio) asigna un número complejo para cada valor posible de los grados discretos de libertad (p. Ej., Componente z de centrifugado) - estos valores a menudo se muestran en una matriz de columna (por ejemplo, un 2 × 1 vector columna para un electrón no relativista con espín ¹ / ₂ ).

De acuerdo con el principio de superposición de la mecánica cuántica, las funciones de onda se pueden sumar y multiplicar por números complejos para formar nuevas funciones de onda y formar un espacio de Hilbert . El producto interno entre dos funciones de onda es una medida de la superposición entre los estados físicos correspondientes y se utiliza en la interpretación probabilística fundamental de la mecánica cuántica, la regla de Born , que relaciona las probabilidades de transición con los productos internos. La ecuación de Schrödinger determina cómo las funciones de onda evolucionan con el tiempo y una función de onda se comporta cualitativamente como otras ondas , como las ondas de agua.u ondas en una cuerda, porque la ecuación de Schrödinger es matemáticamente un tipo de ecuación de onda . Esto explica el nombre de "función de onda" y da lugar a la dualidad onda-partícula . Sin embargo, la función de onda en la mecánica cuántica describe una especie de fenómeno físico, todavía abierto a diferentes interpretaciones , que difiere fundamentalmente del de las ondas mecánicas clásicas. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]}

En la interpretación estadística de Born en la mecánica cuántica no relativista, ^{[8] [9] [10]} el módulo al cuadrado de la función de onda, | ψ | ² , es un número real interpretado como la densidad de probabilidad de medir una partícula como si estuviera en un lugar dado, o teniendo un momento dado, en un momento dado, y posiblemente tenga valores definidos para grados discretos de libertad. La integral de esta cantidad, sobre todos los grados de libertad del sistema, debe ser 1 de acuerdo con la interpretación de probabilidad. Este requisito general que debe satisfacer una función de onda se llamacondición de normalización . Dado que la función de onda tiene un valor complejo, sólo se pueden medir su fase relativa y su magnitud relativa; su valor, de forma aislada, no dice nada acerca de las magnitudes o direcciones de los observables mensurables; hay que aplicar operadores cuánticos , cuyos valores propios corresponden a conjuntos de posibles resultados de medidas, a la función de onda ψ y calcular las distribuciones estadísticas para cantidades mensurables.

Antecedentes históricos

Parte de una serie sobre
Mecánica cuántica
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia Libros de texto
Fondo Mecanica clasica Teoría cuántica antigua Notación bra-ket Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Regla nacida Longitud de onda de Compton Coherencia Decoherencia Complementariedad Nivel de energía Entrelazamiento Hamiltoniano Principio de incertidumbre Estado fundamental Amplitud de probabilidad Distribución de probabilidad Interferencia Medición Medida débil No localidad Observable Operador Cuántico Fluctuación cuántica Número cuántico Ruido cuántico Estado cuántico Sistema cuántico Teletransportación cuántica Qubit Girar Superposición Estado de vacío cuántico Simetría Ruptura de simetría (espontánea) Estado de vacío Propagación de onda Función de onda Colapso de la función de onda Dualidad onda-partícula Ola de materia Barrera de potencial rectangular Espacio fock
Efectos Efecto Zeeman Efecto Stark Efecto Aharonov-Bohm Cuantización de Landau Efecto Hall cuántico Efecto Quantum Zeno Túneles cuánticos Efecto fotoeléctrico Efecto Casimir
Experimentos La desigualdad de Bell Davisson – Germer Doble hendidura Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Desigualdad de Leggett-Garg Mach – Zehnder Corchete Borrador cuántico  ( opción retardada ) El gato de Schrödinger Stern – Gerlach La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Visión de conjunto Imágenes dinámicas ( Heisenberg ; Interacción ; Schrödinger ) Matriz Espacio de fase Sumas sobre historias (integral de ruta)
Ecuaciones Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Integración funcional
Interpretaciones Visión de conjunto Bayesiano Historias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variable oculta Muchos-mundos Colapso objetivo Lógica cuántica Relacional Transaccional
Temas avanzados Hipótesis de termalización del estado propio Recocido cuántico Caos cuántico Computación cuántica Geometría cuántica Matriz de densidad Teoría cuántica de campos Mecánica cuántica fraccional Gravedad cuántica Ciencia de la información cuántica Aprendizaje automático cuántico Teoría de la perturbación (mecánica cuántica) Mecánica cuántica relativista Teoría de la dispersión Teoría del vacío superfluido Conversión descendente paramétrica espontánea Mecánica estadística cuántica
Científicos Aharonov campana Blackett Bloch Bohm Bohr Nació Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli Cordero Landó Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Viena Wigner Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
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En 1905, Albert Einstein postuló la proporcionalidad entre la frecuencia de un fotón y su energía , , ^[11] y en 1916 la relación correspondiente entre un fotón de impulso y la longitud de onda , , ^[12] donde es la constante de Planck . En 1923, De Broglie fue el primero en sugerir que la relación , ahora llamada relación de De Broglie , es válida para partículas masivas , siendo la clave principal la invariancia de Lorentz , ^[13]${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E=hf}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$y esto puede verse como el punto de partida para el desarrollo moderno de la mecánica cuántica. Las ecuaciones representan la dualidad onda-partícula para partículas masivas y sin masa.

En las décadas de 1920 y 1930, la mecánica cuántica se desarrolló utilizando cálculo y álgebra lineal . Aquellos que utilizaron las técnicas del cálculo incluyeron a Louis de Broglie , Erwin Schrödinger y otros, que desarrollaron la " mecánica ondulatoria ". Los que aplicaron los métodos del álgebra lineal incluyeron a Werner Heisenberg , Max Born y otros, que desarrollaron la "mecánica matricial". Posteriormente, Schrödinger demostró que los dos enfoques eran equivalentes. ^[14]

En 1926, Schrödinger publicó la famosa ecuación de onda que ahora lleva su nombre, la ecuación de Schrödinger . Esta ecuación se basó en la conservación clásica de la energía utilizando operadores cuánticos y las relaciones de De Broglie, y las soluciones de la ecuación son las funciones de onda del sistema cuántico. ^[15] Sin embargo, nadie tenía claro cómo interpretarlo . ^[16] Al principio, Schrödinger y otros pensaron que las funciones de onda representan partículas que se encuentran dispersas y que la mayoría de las partículas se encuentran donde la función de onda es grande. ^[17]Se demostró que esto era incompatible con la dispersión elástica de un paquete de ondas (que representa una partícula) fuera de un objetivo; se extiende en todas direcciones. ^[8] Si bien una partícula dispersa puede dispersarse en cualquier dirección, no se rompe y despega en todas las direcciones. En 1926, Born proporcionó la perspectiva de la amplitud de probabilidad . ^{[8] [9] [18]} Esto relaciona los cálculos de la mecánica cuántica directamente con las observaciones experimentales probabilísticas. Se acepta como parte de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica. Hay muchas otras interpretaciones de la mecánica cuántica . En 1927, Hartree y Fockdio el primer paso en un intento de resolver la función de onda de N cuerpos y desarrolló el ciclo de autoconsistencia : un algoritmo iterativo para aproximar la solución. Ahora también se conoce como el método Hartree-Fock . ^[19] El determinante y permanente de Slater (de una matriz ) fue parte del método, proporcionado por John C. Slater .

Schrödinger encontró una ecuación para la función de onda que satisfacía la conservación de la energía relativista antes de publicar la no relativista, pero la descartó porque predijo probabilidades y energías negativas . En 1927, Klein , Gordon y Fock también lo encontraron, pero incorporaron la interacción electromagnética y demostraron que era invariante de Lorentz . De Broglie también llegó a la misma ecuación en 1928. Esta ecuación de onda relativista ahora se conoce más comúnmente como la ecuación de Klein-Gordon . ^[20]

En 1927, Pauli encontró fenomenológicamente una ecuación no relativista para describir partículas de espín-1/2 en campos electromagnéticos, ahora llamada ecuación de Pauli . ^[21] Pauli descubrió que la función de onda no estaba descrita por una única función compleja de espacio y tiempo, sino que necesitaba dos números complejos, que corresponden respectivamente a los estados de espín +1/2 y -1/2 del fermión. Poco después, en 1928, Dirac encontró una ecuación de la primera unificación exitosa de la relatividad especial y la mecánica cuántica aplicada al electrón , ahora llamada ecuación de Dirac . En esto, la función de onda es un espino representado por cuatro componentes de valor complejo:^[19] dos para el electrón y dos para la antipartícula del electrón, el positrón . En el límite no relativista, la función de onda de Dirac se asemeja a la función de onda de Pauli para el electrón. Posteriormente, se encontraron otras ecuaciones de onda relativistas .

Funciones de onda y ecuaciones de onda en las teorías modernas

Todas estas ecuaciones de onda tienen una importancia duradera. La ecuación de Schrödinger y la ecuación de Pauli son en muchas circunstancias excelentes aproximaciones de las variantes relativistas. Son considerablemente más fáciles de resolver en problemas prácticos que las contrapartes relativistas.

La ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac , aunque son relativistas, no representan una reconciliación completa de la mecánica cuántica y la relatividad especial. La rama de la mecánica cuántica donde estas ecuaciones se estudian de la misma manera que la ecuación de Schrödinger, a menudo llamada mecánica cuántica relativista , aunque muy exitosa, tiene sus limitaciones (ver, por ejemplo, Cambio de Lamb ) y problemas conceptuales (ver, por ejemplo, el mar de Dirac ).

La relatividad hace inevitable que el número de partículas de un sistema no sea constante. Para una reconciliación completa, se necesita la teoría cuántica de campos . ^[22] En esta teoría, las ecuaciones de onda y las funciones de onda tienen su lugar, pero de una forma algo diferente. Los principales objetos de interés no son las funciones de onda, sino los operadores, los llamados operadores de campo (o simplemente campos donde se entiende por "operador") en el espacio de estados de Hilbert (que se describirá en la siguiente sección). Resulta que las ecuaciones de onda relativistas originales y sus soluciones todavía son necesarias para construir el espacio de Hilbert. Además, los operadores de campos libres, es decir, cuando se supone que las interacciones no existen, resultan (formalmente) satisfacer la misma ecuación que los campos (funciones de onda) en muchos casos.

Así, la ecuación de Klein-Gordon (espín 0 ) y la ecuación de Dirac (espín ¹ / ₂ ) en esta guisa permanecen en la teoría. Análogos de giro superiores incluyen la ecuación Proca (SPIN 1 ), ecuación Rarita-Schwinger (SPIN ³ / ₂ ), y, más en general, las ecuaciones de Bargmann-Wigner . Para campos libres sin masa , dos ejemplos son la ecuación de Maxwell de campo libre (giro 1 ) y la ecuación de Einstein de campo libre (giro 2 ) para los operadores de campo. ^[23]Todos ellos son esencialmente una consecuencia directa del requisito de invariancia de Lorentz . Sus soluciones deben transformarse bajo la transformación de Lorentz de una manera prescrita, es decir, bajo una representación particular del grupo de Lorentz y que junto con algunas otras demandas razonables, por ejemplo, el principio de descomposición de grupos , ^[24] con implicaciones para la causalidad es suficiente para fijar las ecuaciones.

Esto se aplica a las ecuaciones de campo libre; las interacciones no están incluidas. Si se dispone de una densidad lagrangiana (incluidas las interacciones), entonces el formalismo lagrangiano producirá una ecuación de movimiento al nivel clásico. Esta ecuación puede ser muy compleja y no susceptible de solución. Cualquier solución se referiría a un número fijo de partículas y no explicaría el término "interacción" como se menciona en estas teorías, que implica la creación y aniquilación de partículas y no potenciales externos como en la teoría cuántica ordinaria "primera cuantizada".

En la teoría de cuerdas , la situación sigue siendo análoga. Por ejemplo, una función de onda en el espacio de la cantidad de movimiento tiene el papel de coeficiente de expansión de Fourier en un estado general de una partícula (cuerda) con una cantidad de movimiento que no está claramente definida. ^[25]

Definición (una partícula sin espinas en una dimensión)

Ondas viajeras de una partícula libre.

Las partes reales de la función de onda de posición Ψ ( x ) y la función de onda de momento Φ ( p ) , y las correspondientes densidades de probabilidad | Ψ ( x ) | ² y | Φ ( p ) | ² , para un spin-0 partícula en uno x o p dimensión. La opacidad del color de las partículas corresponde a la densidad de probabilidad ( no a la función de onda) de encontrar la partícula en la posición xo el momento p .

Por ahora, considere el caso simple de una sola partícula no relativista, sin espín , en una dimensión espacial. A continuación se analizan casos más generales.

Funciones de onda del espacio de posición

El estado de tal partícula está completamente descrito por su función de onda,

${\displaystyle \Psi (x,t)\,,}$

donde x es la posición y t es el tiempo. Ésta es una función de valor complejo de dos variables reales x y t .

Para una partícula sin espín en una dimensión, si la función de onda se interpreta como una amplitud de probabilidad , el módulo cuadrado de la función de onda, el número real positivo

${\displaystyle \left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x,t),}$

se interpreta como la densidad de probabilidad de que la partícula esté en x . El asterisco indica el conjugado complejo . Si se mide la posición de la partícula , su ubicación no se puede determinar a partir de la función de onda, sino que se describe mediante una distribución de probabilidad .

Condición de normalización

La probabilidad de que su posición x esté en el intervalo a ≤ x ≤ b es la integral de la densidad en este intervalo:

${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}dx}$

donde t es el momento en que se midió la partícula. Esto conduce a la condición de normalización :

${\displaystyle \,\int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}dx=1\,,}$

porque si se mide la partícula, hay un 100% de probabilidad de que esté en algún lugar .

Para un sistema dado, el conjunto de todas las posibles funciones de onda normalizables (en un momento dado) forma un espacio vectorial matemático abstracto , lo que significa que es posible sumar diferentes funciones de onda y multiplicar las funciones de onda por números complejos (ver espacio vectorial para detalles). Técnicamente, debido a la condición de normalización, las funciones de onda forman un espacio proyectivo en lugar de un espacio vectorial ordinario. Este espacio vectorial es de dimensión infinita , porque no hay un conjunto finito de funciones que se puedan sumar en varias combinaciones para crear todas las funciones posibles. Además, es un espacio de Hilbert , porque el producto interno de dos funciones de onda Ψ₁ y Ψ ₂ se pueden definir como el número complejo (en el momento t ) ^{[nb 1]}

${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Psi _{1}^{*}(x,t)\Psi _{2}(x,t)dx.}$

A continuación se ofrecen más detalles . Aunque el producto interno de dos funciones de onda es un número complejo, el producto interno de una función de onda Ψ consigo mismo,

${\displaystyle (\Psi ,\Psi )=\|\Psi \|^{2}\,,}$

es siempre un número real positivo. El número || Ψ || (no || Ψ || ² ) se llama la norma de la función de onda Ψ .

Si (Ψ, Ψ) = 1 , entonces Ψ está normalizado. Si Ψ no está normalizado, entonces dividir por su norma da la función normalizada Ψ / || Ψ || . Dos funciones de onda Ψ ₁ y Ψ ₂ son ortogonales si (Ψ ₁ , Ψ ₂ ) = 0 . Si están normalizados y ortogonales, son ortonormales . La ortogonalidad (por lo tanto, también la ortonormalidad) de las funciones de onda no es una condición necesaria que deben satisfacer las funciones de onda, pero es instructivo considerarlo ya que garantiza la independencia lineal.de las funciones. En una combinación lineal de funciones de onda ortogonales Ψ _n tenemos,

${\displaystyle \Psi =\sum _{n}a_{n}\Psi _{n}\,,\quad a_{n}={\frac {(\Psi _{n},\Psi )}{(\Psi _{n},\Psi _{n})}}}$

Si las funciones de onda Ψ _n fueran no ortogonales, los coeficientes serían menos simples de obtener.

Estados cuánticos como vectores

En la interpretación de Copenhague , el módulo al cuadrado del producto interno (un número complejo) da un número real

${\displaystyle \left|(\Psi _{1},\Psi _{2})\right|^{2}=P\left(\Psi _{2}\rightarrow \Psi _{1}\right)\,,}$

que, suponiendo que ambas funciones de onda están normalizados, se interpreta como la probabilidad de que la función de onda Ψ ₂ "colapso" a la nueva función de onda Ψ ₁ en la medición de un observable, cuyo valores propios son los posibles resultados de la medición, con Ψ ₁ bienestar un vector propio del valor propio resultante. Esta es la regla de Born , ^[8] y es uno de los postulados fundamentales de la mecánica cuántica.

En un instante particular de tiempo, todos los valores de la función de onda Ψ ( x , t ) son componentes de un vector. Hay incontables infinitamente muchos de ellos y la integración se usa en lugar de la suma. En notación Bra-ket , este vector se escribe

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int \Psi (x,t)|x\rangle dx}$

y se denomina "vector de estado cuántico", o simplemente "estado cuántico". Hay varias ventajas de entender las funciones de onda como representantes de elementos de un espacio vectorial abstracto:

• Todas las poderosas herramientas del álgebra lineal se pueden utilizar para manipular y comprender las funciones de onda. Por ejemplo:
  • El álgebra lineal explica cómo se puede dar una base a un espacio vectorial , y luego cualquier vector en el espacio vectorial se puede expresar en esta base. Esto explica la relación entre una función de onda en el espacio de posición y una función de onda en el espacio de momento y sugiere que también hay otras posibilidades.
  • La notación bra-ket se puede utilizar para manipular las funciones de onda.
• La idea de que los estados cuánticos son vectores en un espacio vectorial abstracto es completamente general en todos los aspectos de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos , mientras que la idea de que los estados cuánticos son funciones de "onda" de valor complejo del espacio solo es cierta en ciertas situaciones.

El parámetro de tiempo a menudo se suprime y estará en lo siguiente. La coordenada x es un índice continuo. El | x ⟩ son los vectores de la base, que son ortonormal por lo que su producto interno es una función delta ;

${\displaystyle \langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)}$

por lo tanto

${\displaystyle \langle x'|\Psi \rangle =\int \Psi (x)\langle x'|x\rangle dx=\Psi (x')}$

y

${\displaystyle |\Psi \rangle =\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\left(\int |x\rangle \langle x|dx\right)|\Psi \rangle }$

que ilumina el operador de identidad

${\displaystyle I=\int |x\rangle \langle x|dx\,.}$

Encontrar el operador de identidad en una base permite que el estado abstracto se exprese explícitamente en una base, y más (el producto interno entre dos vectores de estado y otros operadores para observables se puede expresar en la base).

Funciones de onda del momento-espacio

La partícula también tiene una función de onda en el espacio de momento :

${\displaystyle \Phi (p,t)}$

donde p es el impulso en una dimensión, que puede ser cualquier valor de −∞ a + ∞ , y t es el tiempo.

De manera análoga al caso de la posición, el producto interno de dos funciones de onda Φ ₁ ( p , t ) y Φ ₂ ( p , t ) se puede definir como:

${\displaystyle (\Phi _{1},\Phi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp\,.}$

Una solución particular a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es

${\displaystyle \Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar },}$

una onda plana , que se puede utilizar en la descripción de una partícula con cantidad de movimiento exactamente p , ya que es una función propia del operador de cantidad de movimiento. Estas funciones no se pueden normalizar a la unidad (no son integrables en cuadrados), por lo que en realidad no son elementos del espacio físico de Hilbert. El conjunto

${\displaystyle \{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}}$

forma lo que se llama la base del impulso . Esta "base" no es una base en el sentido matemático habitual. Por un lado, dado que las funciones no son normalizables, en cambio se normalizan a una función delta ,

${\displaystyle (\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (p-p').}$

Por otro lado, aunque son linealmente independientes, hay demasiados (forman un conjunto incontable) para una base para el espacio físico de Hilbert. Todavía se pueden usar para expresar todas las funciones en él usando transformadas de Fourier como se describe a continuación.

Relaciones entre las representaciones de posición y momento

Las representaciones x y p son

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}}$

Ahora tome la proyección del estado Ψ sobre las funciones propias de la cantidad de movimiento usando la última expresión en las dos ecuaciones, ^[26]

${\displaystyle \int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (p-p')dp'=\Phi (p).}$

Luego, utilizando la expresión conocida para estados propios de momento adecuadamente normalizados en las soluciones de representación de posición de la ecuación de Schrödinger libre

${\displaystyle \langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},}$

Se obtiene

${\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.}$

Asimismo, utilizando funciones propias de posición,

${\displaystyle \Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.}$

Las funciones de onda de espacio de posición y espacio de momento son, por lo tanto, transformadas de Fourier entre sí. ^[27] Las dos funciones de onda contienen la misma información, y una sola es suficiente para calcular cualquier propiedad de la partícula. Como representantes de elementos del espacio físico abstracto de Hilbert, cuyos elementos son los estados posibles del sistema en consideración, representan el mismo vector de estado, por lo tanto , estados físicos idénticos , pero generalmente no son iguales cuando se consideran funciones cuadradas integrables.

En la práctica, la función de onda de espacio de posición se utiliza con mucha más frecuencia que la función de onda de espacio de momento. El potencial que ingresa en la ecuación relevante (Schrödinger, Dirac, etc.) determina en qué base la descripción es más fácil. Para el oscilador armónico , x y p entran de forma simétrica, por lo que no importa lo que uno Descripción usos. Se obtiene la misma ecuación (constantes de módulo). De esto se sigue, con un poco de reflexión tardía, un factoride: las soluciones a la ecuación de onda del oscilador armónico son funciones propias de la transformada de Fourier en L ² . ^{[nb 2]}

Definiciones (otros casos)

A continuación se muestran las formas generales de la función de onda para sistemas en dimensiones más altas y más partículas, además de incluir otros grados de libertad además de las coordenadas de posición o los componentes del momento.

Estados de una partícula en el espacio de posición 3D

La función de onda del espacio de posición de una sola partícula sin espín en tres dimensiones espaciales es similar al caso de una dimensión espacial anterior:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$

donde r es el vector de posición en el espacio tridimensional y t es el tiempo. Como siempre, Ψ ( r ,  t ) es una función de valores complejos de variables reales. Como un solo vector en notación de Dirac

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle }$

Todas las observaciones anteriores sobre productos internos, funciones de ondas espaciales de impulso, transformadas de Fourier, etc., se extienden a dimensiones superiores.

Para una partícula con espín , ignorando los grados de libertad de posición, la función de onda es una función únicamente del espín (el tiempo es un parámetro);

${\displaystyle \xi (s_{z},t)}$

donde s _z es el número cuántico de proyección de espín a lo largo del eje z . (El eje z es una elección arbitraria; se pueden usar otros ejes en su lugar si la función de onda se transforma de manera apropiada, ver más abajo). El parámetro s _z , a diferencia de r y t , es una variable discreta . Por ejemplo, para una partícula de espín-1/2 , s _z solo puede ser +1/2 o −1/2 , y no ningún otro valor. (En general, para espín s , s _z puede ser s , s- 1,…, - s + 1, - s ). Al insertar cada número cuántico se obtiene una función de valor complejo de espacio y tiempo, hay 2 s + 1 de ellos. Estos se pueden organizar en un vector de columna ^{[nb 3]}

${\displaystyle {\xi ={\begin{bmatrix}\xi (s,t)\\\xi (s-1,t)\\\vdots \\\xi (-(s-1),t)\\\xi (-s,t)\\\end{bmatrix}}=\xi (s,t){\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (s-1,t){\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\cdots +\xi (-(s-1),t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (-s,t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}}$

En notación bra-ket , estos se organizan fácilmente en los componentes de un vector ^{[nb 4]}

${\displaystyle |\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}=-s}^{s}\xi (s_{z},t)\,|s_{z}\rangle }$

El vector completo ξ es una solución de la ecuación de Schrödinger (con un hamiltoniano adecuado), que se desarrolla en un sistema acoplado de 2 s + 1 ecuaciones diferenciales ordinarias con soluciones ξ ( s , t ), ξ ( s - 1, t ), …, Ξ (- s , t ) . Algunos autores utilizan el término "función de giro" en lugar de "función de onda". Esto contrasta las soluciones para las funciones de onda del espacio de posición, las coordenadas de posición son grados continuos de libertad, porque entonces la ecuación de Schrödinger toma la forma de una ecuación de onda.

De manera más general, para una partícula en 3d con cualquier espín, la función de onda se puede escribir en "espacio posición-espín" como:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)}$

y estos también se pueden organizar en un vector de columna

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\Psi (\mathbf {r} ,s,t)\\\Psi (\mathbf {r} ,s-1,t)\\\vdots \\\Psi (\mathbf {r} ,-(s-1),t)\\\Psi (\mathbf {r} ,-s,t)\\\end{bmatrix}}}$

en el que la dependencia de espín se coloca en la indexación de las entradas, y la función de onda es una función compleja del espacio y el tiempo valorada por vectores.

Todos los valores de la función de onda, no solo para variables discretas sino también continuas, se reúnen en un solo vector

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\,|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle }$

Para una sola partícula, el producto tensorial ⊗ de su vector de estado de posición | Psi ⟩ y el vector de estado de espín | xi ⟩ da el vector de estado de posición-spin compuesto

${\displaystyle |\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)\,|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$

con las identificaciones

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle }$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)=\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)}$

${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$

La factorización del producto tensorial solo es posible si los momentos angulares orbital y de espín de la partícula son separables en el operador hamiltoniano subyacente a la dinámica del sistema (en otras palabras, el hamiltoniano se puede dividir en la suma de términos orbitales y espín ^[28] ). La dependencia del tiempo se puede colocar en cualquier factor, y la evolución temporal de cada uno se puede estudiar por separado. La factorización no es posible para aquellas interacciones donde un campo externo o cualquier cantidad dependiente del espacio se acopla al espín; los ejemplos incluyen una partícula en un campo magnético y el acoplamiento espín-órbita .

La discusión anterior no se limita al giro como variable discreta, también se puede usar el momento angular total J. ^[29] Otros grados discretos de libertad, como isospin , se pueden expresar de manera similar al caso de spin anterior.

Estados de muchas partículas en el espacio de posición 3D

Ondas viajeras de dos partículas libres, con dos de tres dimensiones suprimidas. La parte superior es la función de onda del espacio de posición, la parte inferior es la función de onda del espacio de momento, con las correspondientes densidades de probabilidad.

Si hay muchas partículas, en general solo hay una función de onda, no una función de onda separada para cada partícula. El hecho de que una función de onda describa muchas partículas es lo que hace posible el entrelazamiento cuántico y la paradoja EPR . La función de onda del espacio de posición para N partículas se escribe: ^[19]

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)}$

donde r _i es la posición de la i- ésima partícula en el espacio tridimensional, y t es el tiempo. En total, esta es una función de valor complejo de 3 N + 1 variables reales.

En mecánica cuántica existe una distinción fundamental entre partículas idénticas y partículas distinguibles . Por ejemplo, dos electrones cualesquiera son idénticos y fundamentalmente indistinguibles entre sí; las leyes de la física hacen que sea imposible "estampar un número de identificación" en un determinado electrón para rastrearlo. ^[27] Esto se traduce en un requisito sobre la función de onda para un sistema de partículas idénticas:

${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)}$

donde el signo + aparece si las partículas son todas bosones y el signo - si todas son fermiones . En otras palabras, la función de onda es totalmente simétrica en las posiciones de los bosones o totalmente antisimétrica en las posiciones de los fermiones. ^[30] El intercambio físico de partículas corresponde al cambio matemático de argumentos en la función de onda. La característica antisimetría de las funciones de ondas fermiónicas conduce al principio de Pauli . Generalmente, los requisitos de simetría bosónica y fermiónica son la manifestación de las estadísticas de partículas y están presentes en otros formalismos de estado cuántico.

Para N partículas distinguibles (no hay dos idénticas , es decir, no hay dos que tengan el mismo conjunto de números cuánticos), no es necesario que la función de onda sea simétrica o antisimétrica.

Para una colección de partículas, algunas idénticas con coordenadas r ₁ , r ₂ , ... y otras distinguibles x ₁ , x ₂ , ... (no idénticas entre sí, y no idénticas a las partículas idénticas antes mencionadas), la onda La función es simétrica o antisimétrica en las coordenadas de partículas idénticas r _i solamente:

${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)}$

Nuevamente, no existe un requisito de simetría para las coordenadas de partículas distinguibles x _i .

La función de onda para N partículas, cada una con espín, es la función de valor complejo

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)}$

Acumulando todos estos componentes en un solo vector,

$${\displaystyle \underbrace {|\Psi \rangle } _{\text{state vector (ket)}}=\underbrace {\overbrace {\sum _{s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}}} ^{\text{discrete labels}}\overbrace {\int \limits \limits _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\cdots \int \limits \limits _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}} ^{\text{continuous labels}}} _{\text{adding up}}\,\underbrace {{\Psi }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N})} _{\text{wave function (component of state vector along basis state)}}\underbrace {|\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}\rangle } _{\text{basis state (basis ket)}}\,.}$$

Para partículas idénticas, los requisitos de simetría se aplican tanto a la posición como a los argumentos de giro de la función de onda para que tenga la simetría correcta en general.

Las fórmulas para los productos internos son integrales sobre todas las coordenadas o momentos y sumas sobre todos los números cuánticos de espín. Para el caso general de N partículas con spin en 3d,

${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{N}\Psi _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\Psi _{2}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)}$

esto es en total N integrales de volumen tridimensionales y N sumas sobre los espines. Los elementos de volumen diferencial d ³ r _i también se escriben " dV _i " o " dx _i dy _i dz _i ".

Las transformadas multidimensionales de Fourier de las funciones de onda del espacio de posición o posición-espín producen funciones de onda espaciales de momento o momento-espín.

Interpretación de probabilidad

Para el caso general de N partículas con espín en 3d, si Ψ se interpreta como una amplitud de probabilidad, la densidad de probabilidad es

${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)=\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\right|^{2}}$

y la probabilidad de que la partícula 1 esté en la región R ₁ con espín s _{z 1} = m ₁ y la partícula 2 esté en la región R ₂ con espín s _{z 2} = m ₂ etc. en el tiempo t es la integral de la densidad de probabilidad sobre estas regiones y evaluado en estos números de giro:

${\displaystyle P_{\mathbf {r} _{1}\in R_{1},s_{z\,1}=m_{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}\in R_{N},s_{z\,N}=m_{N}}(t)=\int \limits _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{R_{2}}d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},m_{1}\cdots m_{N},t\right)\right|^{2}}$

Dependencia del tiempo

Artículo principal: imágenes dinámicas

Para sistemas en potenciales independientes del tiempo, la función de onda siempre se puede escribir como una función de los grados de libertad multiplicados por un factor de fase dependiente del tiempo, cuya forma viene dada por la ecuación de Schrödinger. Para N partículas, considerando solo sus posiciones y suprimiendo otros grados de libertad,

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\,\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,,}$

donde E es el valor propio de energía del sistema correspondiente al estado propio Ψ . Las funciones de onda de esta forma se denominan estados estacionarios .

La dependencia temporal del estado cuántico y los operadores se puede colocar de acuerdo con transformaciones unitarias en los operadores y estados. Para cualquier estado cuántico | Ψ⟩ y operador O , en la imagen de Schrödinger | Ψ ( t )⟩ cambia con el tiempo de acuerdo con la ecuación de Schrödinger mientras que O es constante. En la imagen de Heisenberg es al revés, | Ψ⟩ es constante mientras que O ( t )evoluciona con el tiempo de acuerdo con la ecuación de movimiento de Heisenberg. La imagen de Dirac (o interacción) es intermedia, la dependencia del tiempo se ubica tanto en operadores como en estados que evolucionan de acuerdo con ecuaciones de movimiento. Es útil principalmente en el cálculo de elementos de S-matriz . ^[31]

Ejemplos no relativistas

Las siguientes son soluciones a la ecuación de Schrödinger para una partícula sin espín no relativista.

Barrera de potencial finito

Dispersión en una barrera de potencial finito de altura V ₀ . Se indican las amplitudes y la dirección de las ondas en movimiento izquierda y derecha. En rojo, aquellas ondas utilizadas para la derivación de la amplitud de reflexión y transmisión. E > V ₀ para esta ilustración.

Una de las características más destacadas de la mecánica ondulatoria es la posibilidad de que una partícula alcance una ubicación con un potencial de fuerza prohibitivo (en la mecánica clásica) . Un modelo común es la " barrera potencial ", el caso unidimensional tiene el potencial

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}}$

y las soluciones de estado estable de la ecuación de onda tienen la forma (para algunas constantes k , κ )

${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{cases}}}$

Tenga en cuenta que estas funciones de onda no están normalizadas; consulte la teoría de la dispersión para su discusión.

La interpretación estándar de esto es como una corriente de partículas que se disparan en el paso de la izquierda (la dirección de x negativa ): establecer A _r = 1 corresponde a disparar partículas individualmente; los términos que contienen A _r y C _r significan movimiento hacia la derecha, mientras que A _l y C _l - hacia la izquierda. Bajo esta interpretación del haz, ponga C _l = 0 ya que no vienen partículas de la derecha. Al aplicar la continuidad de las funciones de onda y sus derivadas en los límites, es posible determinar las constantes anteriores.

Funciones de onda de electrones confinadas 3D en un punto cuántico. Aquí, se muestran puntos cuánticos rectangulares y de forma triangular. Estados de energía en puntos rectangulares son más s-tipo y de tipo p . Sin embargo, en un punto triangular las funciones de onda se mezclan debido a la simetría de confinamiento. (Haga clic para ver la animación)

En un cristalito semiconductor cuyo radio es más pequeño que el tamaño de su radio de Bohr del excitón , los excitones se comprimen, lo que lleva al confinamiento cuántico . Luego, los niveles de energía se pueden modelar utilizando la partícula en un modelo de caja en el que la energía de los diferentes estados depende de la longitud de la caja.

Oscilador armónico cuántico

Las funciones de onda para el oscilador armónico cuántico se pueden expresar en términos de polinomios de Hermite H _n , son

${\displaystyle \Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}$

donde n = 0, 1, 2,… .

La densidad de probabilidad de electrones para los primeros orbitales de electrones del átomo de hidrógeno se muestra como secciones transversales. Estos orbitales forman una base ortonormal para la función de onda del electrón. Los diferentes orbitales se representan con diferentes escalas.

Átomo de hidrógeno

Las funciones de onda de un electrón en un átomo de hidrógeno se expresan en términos de armónicos esféricos y polinomios de Laguerre generalizados (estos se definen de manera diferente por diferentes autores; consulte el artículo principal sobre ellos y el átomo de hidrógeno).

Es conveniente utilizar coordenadas esféricas y la función de onda se puede separar en funciones de cada coordenada, ^[32]

${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )}$

donde R son funciones radiales y Y^m
_ℓ( θ , φ ) son armónicos esféricos de grado ℓ y orden m . Este es el único átomo para el que se ha resuelto exactamente la ecuación de Schrödinger. Los átomos de varios electrones requieren métodos aproximados. La familia de soluciones es: ^[33]

${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$

donde a ₀ = 4 πε ₀ ħ ² / m _e e ² es el radio de Bohr , L^{2 ℓ + 1}
_{norte - ℓ - 1}son los polinomios de Laguerre generalizados de grado n - ℓ - 1 , n = 1, 2, ... es el número cuántico principal , ℓ = 0, 1, ... n - 1 el número cuántico azimutal , m = - ℓ , - ℓ + 1, ..., ℓ - 1, ℓ el número cuántico magnético . Los átomos similares al hidrógeno tienen soluciones muy similares.

Esta solución no tiene en cuenta el espín del electrón.

En la figura de los orbitales de hidrógeno, las 19 subimágenes son imágenes de funciones de onda en el espacio de posición (su norma al cuadrado). Las funciones de onda representan el estado abstracto caracterizado por el triple de números cuánticos ( n , l , m ) , en la parte inferior derecha de cada imagen. Estos son el número cuántico principal, el número cuántico de momento angular orbital y el número cuántico magnético. Junto con un número cuántico de proyección de espín del electrón, este es un conjunto completo de observables.

La figura puede servir para ilustrar algunas propiedades adicionales de los espacios funcionales de las funciones de onda.

• En este caso, las funciones de onda son cuadradas integrables. Inicialmente, se puede tomar el espacio de funciones como el espacio de funciones cuadradas integrables, generalmente denominado L 2 .
• Las funciones mostradas son soluciones a la ecuación de Schrödinger. Obviamente, no todas las funciones en L ² satisfacen la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno. El espacio funcional es, por tanto, un subespacio de L ² .
• Las funciones mostradas forman parte de una base para el espacio funcional. A cada triple ( n , l , m ) , le corresponde una función de onda base. Si se tiene en cuenta el giro, hay dos funciones básicas para cada triple. Por tanto, el espacio funcional tiene una base contable .
• Las funciones básicas son mutuamente ortonormales .

Funciones de onda y espacios funcionales

El concepto de espacios funcionales entra naturalmente en la discusión sobre las funciones de onda. Un espacio de funciones es un conjunto de funciones, generalmente con algunos requisitos de definición en las funciones (en el caso presente que son integrables al cuadrado ), a veces con una estructura algebraica en el conjunto (en el caso presente, una estructura de espacio vectorial con un producto interno ), junto con una topología en el set. Este último se usará escasamente aquí, solo es necesario para obtener una definición precisa de lo que significa que un subconjunto de un espacio funcional esté cerrado . Se concluirá a continuación que el espacio funcional de las funciones de onda es un espacio de Hilbert.. Esta observación es la base de la formulación matemática predominante de la mecánica cuántica.

Estructura del espacio vectorial

Una función de onda es un elemento de un espacio funcional que se caracteriza en parte por las siguientes descripciones concretas y abstractas.

• La ecuación de Schrödinger es lineal. Esto significa que las soluciones, funciones de onda, se pueden sumar y multiplicar por escalares para formar una nueva solución. El conjunto de soluciones de la ecuación de Schrödinger es un espacio vectorial.
• El principio de superposición de la mecánica cuántica. Si Ψ y Φ son dos estados en el espacio abstracto de estados de un sistema mecánico cuántico, y un y b son dos números complejos, a continuación, un Ψ + b Φ es un estado válido también. (Si los nula vector cuenta como un estado válido ( "no sistema presente") es una cuestión de definición. El vector nulo no no en cualquier tasa de describir el estado de vacío en la teoría de campo cuántico.) El conjunto de estados permitidos es un espacio vectorial .

Esta similitud, por supuesto, no es accidental. También hay una distinción entre los espacios a tener en cuenta.

Representaciones

Los estados básicos se caracterizan por un conjunto de números cuánticos. Este es un conjunto de valores propios de un conjunto máximo de observables conmutados . Los observables físicos están representados por operadores lineales, también llamados observables, en el espacio de vectores. Maximidad significa que no se pueden agregar al conjunto más observables algebraicamente independientes que se conmuten con los que ya están presentes. La elección de tal conjunto puede denominarse elección de representación .

• Es un postulado de la mecánica cuántica que una cantidad físicamente observable de un sistema, como la posición, el momento o el giro, está representada por un operador hermitiano lineal en el espacio de estados. Los posibles resultados de la medición de la cantidad son los valores propios del operador. ^[17] En un nivel más profundo, la mayoría de los observables, quizás todos, surgen como generadores de simetrías . ^{[17] [34] [nb 5]}
• La interpretación física es que tal conjunto representa lo que, en teoría, puede medirse simultáneamente con precisión arbitraria. La relación de incertidumbre de Heisenberg prohíbe las mediciones exactas simultáneas de dos observables que no se desplazan.
• El conjunto no es único. Puede ser para un sistema de una partícula, por ejemplo, posición y espín z- proyección, ( x , S _z ) , o puede ser momento y espín y- proyección, ( p , S _y ) . En este caso, el operador correspondiente a la posición (un operador de multiplicación en la representación de la posición) y el operador correspondiente a la cantidad de movimiento (un operador diferencial en la representación de la posición) no conmuta.
• Una vez que se elige una representación, todavía hay arbitrariedad. Queda por elegir un sistema de coordenadas. Esto puede corresponder, por ejemplo, a una elección de los ejes x , y y z , o una elección de coordenadas curvilíneas como se ejemplifica mediante las coordenadas esféricas utilizadas para las funciones de onda atómica del hidrógeno. Esta elección final también fija una base en el espacio abstracto de Hilbert. Los estados básicos están etiquetados por los números cuánticos correspondientes al conjunto máximo de observables conmutados y un sistema de coordenadas apropiado. ^{[nb 6]}

Los estados abstractos son "abstractos" sólo en el sentido de que no se da una elección arbitraria necesaria para una descripción explícita particular de ellos. Esto es lo mismo que decir que no se ha dado ninguna opción de conjunto máximo de observables conmutados. Esto es análogo a un espacio vectorial sin una base específica. Por tanto, las funciones de onda correspondientes a un estado no son únicas. Esta no unicidad refleja la no unicidad en la elección de un conjunto máximo de observables conmutados. Para una partícula de espín en una dimensión, a un estado particular corresponden dos funciones de onda, Ψ ( x , S _z ) y Ψ ( p , S _y ) , ambas describen la misma Expresar.

• Para cada elección de conjuntos de observables de conmutación máxima para el espacio de estado abstracto, hay una representación correspondiente que está asociada a un espacio funcional de funciones de onda.
• Entre todos estos espacios de funciones diferentes y el espacio de estado abstracto, hay correspondencias uno a uno (aquí sin tener en cuenta la normalización y los factores de fase no observables), siendo el denominador común un estado abstracto particular. La relación entre el impulso y las funciones de onda del espacio de posición, por ejemplo, que describe el mismo estado es la transformada de Fourier .

Debe pensarse que cada elección de representación especifica un espacio funcional único en el que viven las funciones de onda correspondientes a esa elección de representación. Esta distinción se mantiene mejor, incluso si se pudiera argumentar que dos de estos espacios funcionales son matemáticamente iguales, por ejemplo, siendo el conjunto de funciones cuadradas integrables. Entonces, uno puede pensar en los espacios de funciones como dos copias distintas de ese conjunto.

Producto interior

Hay una estructura algebraica adicional en los espacios vectoriales de las funciones de onda y el espacio de estado abstracto.

• Físicamente, se interpreta que las diferentes funciones de onda se superponen hasta cierto punto. Un sistema en un estado Ψ que no se superpone con un estado Φ no se puede encontrar en el estado Φ en la medición. Pero si Φ ₁ , Φ ₂ ,… se superponen Ψ hasta cierto punto, existe la posibilidad de que la medición de un sistema descrito por Ψ se encuentre en los estados Φ ₁ , Φ ₂ ,… . También reglas de selecciónse observan se aplican. Por lo general, se formulan en la preservación de algunos números cuánticos. Esto significa que ciertos procesos permitidos desde algunas perspectivas (por ejemplo, conservación de energía y momento) no ocurren porque las funciones de onda totales inicial y final no se superponen.
• Matemáticamente, resulta que las soluciones a la ecuación de Schrödinger para potenciales particulares son ortogonales de alguna manera, esto generalmente se describe mediante una integral

${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},}$

donde m , n son (conjuntos de) índices (números cuánticos) que etiquetan diferentes soluciones, la función estrictamente positiva w se llama función de peso y δ _mn es el delta de Kronecker . La integración se hace cargo de todo el espacio relevante.

Esto motiva la introducción de un producto interno en el espacio vectorial de estados cuánticos abstractos, compatible con las observaciones matemáticas anteriores al pasar a una representación. Se denota (Ψ, Φ) , o en la notación Bra-ket ⟨Ψ | Φ⟩ . Produce un número complejo. Con el producto interior, el espacio funcional es un espacio de producto interior . La apariencia explícita del producto interno (generalmente una integral o una suma de integrales) depende de la elección de la representación, pero el número complejo (Ψ, Φ) no. Gran parte de la interpretación física de la mecánica cuántica proviene de la regla de Born . Afirma que la probabilidad pde encontrar en la medición el estado Φ dado que el sistema está en el estado Ψ es

${\displaystyle p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},}$

donde Φ y Ψ se suponen normalizados. Considere un experimento de dispersión . En la teoría cuántica de campos, si Φ _out describe un estado en el "futuro distante" (un "estado fuera") después de que las interacciones entre partículas en dispersión hayan cesado, y Ψ _en un "estado" en el "pasado distante", entonces las cantidades (Φ _out , Ψ _in ) , con Φ _out y Ψ _in variando en un conjunto completo de estados de entrada y salida respectivamente, se denomina matriz S o matriz de dispersión . El conocimiento de ella es, efectivamente, tenerresolvió la teoría en cuestión, al menos en lo que respecta a las predicciones. Las cantidades medibles, como las tasas de descomposición y las secciones transversales de dispersión, se pueden calcular a partir de la matriz S. ^[35]

Espacio de Hilbert

Las observaciones anteriores encapsulan la esencia de los espacios funcionales de los que las funciones de onda son elementos. Sin embargo, la descripción aún no está completa. Existe un requisito técnico adicional en el espacio funcional, el de la completitud , que permite tomar límites de secuencias en el espacio funcional y asegurarse de que, si el límite existe, es un elemento del espacio funcional. Un espacio de producto interno completo se denomina espacio de Hilbert . La propiedad de la completitud es crucial en los tratamientos y aplicaciones avanzados de la mecánica cuántica. Por ejemplo, la existencia de operadores de proyección o proyecciones ortogonales se basa en la integridad del espacio. ^[36]Estos operadores de proyección, a su vez, son esenciales para el enunciado y demostración de muchos teoremas útiles, por ejemplo, el teorema espectral . No es muy importante en la introducción a la mecánica cuántica, y los detalles técnicos y los vínculos se pueden encontrar en notas a pie de página como la que sigue. ^{[nb 7]} El espacio L ² es un espacio de Hilbert, con el producto interno presentado más adelante. El espacio funcional del ejemplo de la figura es un subespacio de L ² . Un subespacio de un espacio de Hilbert es un espacio de Hilbert si está cerrado.

En resumen, el conjunto de todas las posibles funciones de onda normalizables para un sistema con una elección particular de base, junto con el vector nulo, constituyen un espacio de Hilbert.

No todas las funciones de interés son elementos de algún espacio de Hilbert, digamos L ² . El ejemplo más evidente es el conjunto de funciones ae ^{2 πi p · x / _h} . Estas son soluciones de ondas planas de la ecuación de Schrödinger para una partícula libre, pero no son normalizables, por lo tanto, no en L ² . Sin embargo, son fundamentales para la descripción. Uno puede, usándolos, expresar funciones que son normalizables usando paquetes de ondas . Son, en cierto sentido, una base (pero no una base espacial de Hilbert, ni una base de Hamel) en el que se pueden expresar las funciones de onda de interés. También existe el artefacto "normalización a una función delta" que se emplea con frecuencia por conveniencia de notación, ver más abajo. Las funciones delta en sí mismas tampoco son integrables en cuadrados.

La descripción anterior del espacio funcional que contiene las funciones de onda está principalmente motivada matemáticamente. Los espacios para eventos son, debido a la integridad, muy grandes en cierto sentido. No todas las funciones son descripciones realistas de cualquier sistema físico. Por ejemplo, en el espacio funcional L ² se puede encontrar la función que toma el valor 0 para todos los números racionales y - i para los irracionales en el intervalo [0, 1] . Esta es integrable cuadrado, ^{[nb 8]} pero difícilmente puede representar un estado físico.

Espacios comunes de Hilbert

Si bien el espacio de soluciones en su conjunto es un espacio de Hilbert, hay muchos otros espacios de Hilbert que comúnmente ocurren como ingredientes.

• Funciones cuadradas integrables de valor complejo en el intervalo [0, 2 π ] . El conjunto { e ^int / 2 π , n ∈ ℤ} es una base espacial de Hilbert, es decir, un conjunto ortonormal máximo.
• La transformada de Fourier lleva funciones en el espacio anterior a elementos de l ² (ℤ) , el espacio de funciones cuadradas sumables ℤ → ℂ . El último espacio es un espacio de Hilbert y la transformada de Fourier es un isomorfismo de los espacios de Hilbert. ^{[nb 9]} Su base es { e _i , i ∈ ℤ} con e _i ( j ) = δ _ij , i , j ∈ ℤ .
• El ejemplo más básico de polinomios de expansión está en el espacio de funciones cuadradas integrables en el intervalo [–1, 1] para el cual los polinomios de Legendre son una base espacial de Hilbert (conjunto ortonormal completo).
• Las funciones cuadradas integrables en la esfera unitaria S ² es un espacio de Hilbert. Las funciones básicas en este caso son los armónicos esféricos . Los polinomios de Legendre son ingredientes de los armónicos esféricos. La mayoría de los problemas con simetría rotacional tendrán "la misma" solución (conocida) con respecto a esa simetría, por lo que el problema original se reduce a un problema de menor dimensionalidad.
• Los polinomios de Laguerre asociados aparecen en el problema de la función de onda hidrógena después de factorizar los armónicos esféricos. Estos abarcan el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en el intervalo semi-infinito [0, ∞) .

De manera más general, se puede considerar un tratamiento unificado de todas las soluciones polinomiales de segundo orden de las ecuaciones de Sturm-Liouville en el marco del espacio de Hilbert. Estos incluyen los polinomios de Legendre y Laguerre, así como los polinomios de Chebyshev , los polinomios de Jacobi y los polinomios de Hermite . Todos estos aparecen en realidad en problemas físicos, los últimos en el oscilador armónico , y lo que de otro modo es un laberinto desconcertante de propiedades de funciones especiales se convierte en un cuerpo organizado de hechos. Para ello, consulte Byron y Fuller (1992 , Capítulo 5).

También se producen espacios de Hilbert de dimensión finita. El espacio ℂ ⁿ es un espacio de Hilbert de dimensión n . El producto interior es el producto interior estándar en estos espacios. En él, reside la "parte de giro" de una función de onda de una sola partícula.

• En la descripción no relativista de un electrón, uno tiene n = 2 y la función de onda total es una solución de la ecuación de Pauli .
• En el tratamiento relativista correspondiente, n = 4 y la función de onda resuelve la ecuación de Dirac .

Con más partículas, la situación es más complicada. Uno tiene que emplear productos tensoriales y usar la teoría de representación de los grupos de simetría involucrados (el grupo de rotación y el grupo de Lorentz respectivamente) para extraer del producto tensorial los espacios en los que residen las funciones de onda de espín (total). (Surgen más problemas en el caso relativista a menos que las partículas sean libres. ^[37] Ver la ecuación de Bethe-Salpeter .) Las observaciones correspondientes se aplican al concepto de isospín , para el cual el grupo de simetría es SU (2) . Los modelos de las fuerzas nucleares de los años sesenta (todavía útiles hoy, ver fuerza nuclear ) usaban el grupo de simetríaSU (3) . En este caso, también, la parte de las funciones de onda correspondientes a las simetrías internas residen en algunos ℂ ⁿ o subespacios de productos tensores de tales espacios.

• En la teoría cuántica de campos, el espacio de Hilbert subyacente es el espacio de Fock . Se construye a partir de estados libres de una sola partícula, es decir, funciones de onda cuando se elige una representación, y puede acomodar cualquier número de partículas finito, no necesariamente constante en el tiempo. La dinámica interesante (o más bien manejable ) radica no en las funciones de onda sino en los operadores de campo que son operadores que actúan en el espacio de Fock. Por tanto, la imagen de Heisenberg es la opción más común (estados constantes, operadores que varían en el tiempo).

Debido a la naturaleza infinita-dimensional del sistema, las herramientas matemáticas apropiadas son objetos de estudio en el análisis funcional .

Descripción simplificada

Continuidad de la función de onda y su primera derivada espacial (en el x dirección, y y z coordenadas no se muestra), en algún momento t .

No todos los libros de texto introductorios toman el camino largo e introducen la maquinaria espacial completa de Hilbert, pero la atención se centra en la ecuación no relativista de Schrödinger en la representación de la posición para ciertos potenciales estándar. Las siguientes restricciones sobre la función de onda a veces se formulan explícitamente para que los cálculos y la interpretación física tengan sentido: ^{[38] [39]}

• La función de onda debe ser cuadrática integrable . Esto está motivado por la interpretación de Copenhague de la función de onda como una amplitud de probabilidad.
• Debe ser continuo en todas partes y continuamente diferenciable en todas partes . Esto está motivado por la aparición de la ecuación de Schrödinger para la mayoría de los potenciales físicamente razonables.

Es posible relajar un poco estas condiciones para fines especiales. ^{[nb 10]} Si no se cumplen estos requisitos, no es posible interpretar la función de onda como una amplitud de probabilidad. ^[40]

Esto no altera la estructura del espacio de Hilbert en el que habitan estas funciones de onda particulares, sino el subespacio de las funciones integrables cuadradas L ² , que es un espacio de Hilbert, que satisface el segundo requisito no está cerrado en L ² , por lo tanto no es un Hilbert espacio en sí mismo. ^{[nb 11]} Las funciones que no cumplen los requisitos siguen siendo necesarias tanto por razones técnicas como prácticas. ^{[nb 12] [nb 13]}

Más sobre funciones de onda y espacio de estado abstracto

Artículo principal: Estado cuántico

Como se ha demostrado, el conjunto de todas las funciones de onda posibles en alguna representación de un sistema constituye un espacio de Hilbert de dimensión infinita en general . Debido a las múltiples opciones posibles de base de representación, estos espacios de Hilbert no son únicos. Se habla, por tanto, de un espacio de Hilbert abstracto, espacio de estados , donde la elección de la representación y la base queda indeterminada. Específicamente, cada estado se representa como un vector abstracto en el espacio de estados. ^[41] Un estado cuántico | Ψ⟩ en cualquier representación se expresa generalmente como un vector

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\int d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)\,|{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }}\rangle }$

dónde

• | α , omega ⟩ los vectores de la base de la representación elegida
• d ^m ω = dω ₁ dω ₂ ... dω _m un " elemento de volumen diferencial " en los grados continuos de libertad
• Ψ ( α , ω , t ) un componente del vector | Ψ⟩ , llamado función de onda del sistema
• α = ( α ₁ , α ₂ , ..., α _n ) números cuánticos discretos adimensionales
• ω = ( ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _m ) variables continuas (no necesariamente adimensionales)

Estos números cuánticos indexan los componentes del vector de estado. Además, todos los α están en un conjunto n- dimensional A = A ₁ × A ₂ × ... A _n donde cada A _i es el conjunto de valores permitidos para α _i ; todos ω están en un "volumen" m -dimensional Ω ⊆ ℝ ^m donde Ω = Ω ₁ × Ω ₂ × ... Ω _my cada Ω _i ⊆ ℝ es el conjunto de valores permitidos para ω _i , un subconjunto de los números reales ℝ . Para generalidad n y m no son necesariamente iguales.

Ejemplo:

(a) Para una sola partícula en 3d con espín s , despreciando otros grados de libertad, usando coordenadas cartesianas, podríamos tomar α = ( s _z ) para el número cuántico de espín de la partícula a lo largo de la dirección z, y ω = ( x , y , z ) para las coordenadas de posición de la partícula. Aquí A = {- s , - s + 1, ..., s - 1, s } es el conjunto de números cuánticos de espín permitidos y Ω = ℝ ³ es el conjunto de todas las posiciones posibles de partículas en el espacio de posición 3d.

(b) Una opción alternativa es α = ( s _y ) para el número cuántico de espín a lo largo de la dirección y y ω = ( p _x , p _y , p _z ) para los componentes del momento de la partícula. En este caso, A y Ω son los mismos que antes.

La densidad de probabilidad de encontrar el sistema en el momento en el estado | α , omega ⟩ es decir${\displaystyle t}$

${\displaystyle \rho _{\alpha ,\omega }(t)=|\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)|^{2}}$

La probabilidad de encontrar un sistema con α en algunas o todas las posibles configuraciones de variables discretas, D ⊆ A , y ω en algunas o todas las posibles configuraciones de variables continuas, C ⊆ Ω , es la suma y la integral sobre la densidad, ^{[nb 14]}

${\displaystyle P(t)=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in D}\int _{C}\rho _{\alpha ,\omega }(t)\,\,d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}}$

Dado que la suma de todas las probabilidades debe ser 1, la condición de normalización

${\displaystyle 1=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in A}\int _{\Omega }\rho _{\alpha ,\omega }(t)\,\,d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}}$

debe mantenerse en todo momento durante la evolución del sistema.

La condición de normalización requiere que ρ d ^m ω sea ​​adimensional, por análisis dimensional Ψ debe tener las mismas unidades que ( ω ₁ ω ₂ ... ω _m ) ^−1/2 .

Ontología

Artículo principal: Interpretaciones de la mecánica cuántica.

Si la función de onda realmente existe y qué representa, son cuestiones importantes en la interpretación de la mecánica cuántica . Muchos físicos famosos de una generación anterior se quedaron perplejos ante este problema, como Schrödinger , Einstein y Bohr . Algunos defienden formulaciones o variantes de la interpretación de Copenhague (por ejemplo, Bohr, Wigner y von Neumann ) mientras que otros, como Wheeler o Jaynes , adoptan el enfoque más clásico ^[42]y considerar la función de onda como representación de información en la mente del observador, es decir, una medida de nuestro conocimiento de la realidad. Algunos, incluidos Schrödinger, Bohm y Everett y otros, argumentaron que la función de onda debe tener una existencia física objetiva. Einstein pensó que una descripción completa de la realidad física debería referirse directamente al espacio físico y al tiempo, a diferencia de la función de onda, que se refiere a un espacio matemático abstracto. ^[43]

Ver también

• Boson
• teoría de De Broglie-Bohm
• Experimento de doble rendija
• Ola de Faraday
• Fermión
• Formulación de espacio de fase
• Ecuación de Schrödinger
• Colapso de la función de onda
• Paquete de onda

Comentarios

1. Aquí se supone que las funciones son elementos de L 2 , el espacio de funciones cuadradas integrables. Los elementos de este espacio son más precisamente clases de equivalencia de funciones cuadradas integrables, dos funciones declaradas equivalentes si difieren en un conjunto de medida de Lebesgue 0 . Esto es necesario para obtener un producto interno (es decir, (Ψ, Ψ) = 0 ⇒ Ψ ≡ 0 ) en contraposición a un producto semi-interno . La integral se toma como la integral de Lebesque . Esto es esencial para la integridad del espacio, lo que genera un espacio de producto interno completo = espacio de Hilbert.
2. La transformada de Fourier vista como un operador unitario en el espacio L ² tiene valores propios ± 1, ± i . Los vectores propios son "funciones de Hermite", es decir, polinomios de Hermite multiplicados por una función gaussiana . Ver Byron y Fuller (1992) para una descripción de la transformada de Fourier como una transformación unitaria. Para conocer los valores propios y los valores propios, consulte el problema 27 cap. 9.
3. Los vectores de columna pueden estar motivados por la conveniencia de expresar el operador de giro para un giro dado como una matriz , para el operador de giro del componente z (dividido por hbar para no dimensionalizar):Los vectores propios de esta matriz son los vectores de columna anteriores, con valores propios siendo los números cuánticos de espín correspondientes.${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}{\hat {S}}_{z}={\begin{bmatrix}s&0&\cdots &0&0\\0&s-1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-(s-1)&0\\0&0&\cdots &0&-s\end{bmatrix}}}$
4. Cada uno | s _z ⟩ se identifica generalmente como un vector columna:pero es un abuso común de notación para escribir:porque las TFE | s _z ⟩ no son sinónimos o igual a los vectores columna. Los vectores de columna simplemente proporcionan una forma conveniente de expresar los componentes de giro.${\displaystyle |s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |s-1\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\ldots \,,\quad |-(s-1)\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |-s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$${\displaystyle |s\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,\ldots \,,}$
5. Para que esta afirmación tenga sentido, los observables deben ser elementos de un conjunto de desplazamientos máximos. Para ver esto, es sencillo observar que, por ejemplo, el operador de momento de la i-ésima partícula en un sistema de n partículas no esun generador de ninguna simetría en la naturaleza. Por otro lado, elimpulso total es un generador de simetría en la naturaleza; la simetría traslacional.
6. La base resultante puede ser o no técnicamente una base en el sentido matemático de los espacios de Hilbert. Por ejemplo, los estados de posición definida y momento definido no son integrables en cuadrado. Esto puede superarse con el uso de paquetes de ondas o encerrando el sistema en una "caja". Vea más comentarios a continuación.
7. En términos técnicos, esto se formula de la siguiente manera. El producto interno produce una norma . Esta norma, a su vez, induce una métrica . Si esta métrica está completa , entonces los límites antes mencionados estarán en el espacio funcional. El espacio interior del producto se denomina completo. Un espacio de producto interior completo es un espacio de Hilbert . El espacio de estado abstracto siempre se toma como un espacio de Hilbert. El requisito de coincidencia para los espacios funcionales es natural. La propiedad espacial de Hilbert del espacio de estado abstracto se extrajo originalmente de la observación de que los espacios funcionales que forman soluciones normalizables a la ecuación de Schrödinger son espacios de Hilbert.
8. Como se explica en una nota al pie posterior, la integral debe tomarse como la integral de Lebesgue , la integral de Riemann no es suficiente.
9. Conway 1990 . Esto significa que los productos internos, por lo tanto las normas, se conservan y que el mapeo es una biyección lineal limitada y, por lo tanto, continua. También se conserva la propiedad de integridad. Por tanto, este es el concepto correcto de isomorfismo en la categoría de espacios de Hilbert.
10. Una de esas relajaciones es que la función de onda debe pertenecer al espacio de Sobolev W ^1,2 . Significa que es diferenciable en el sentido de distribuciones , y su gradiente es integrable al cuadrado . Esta relajación es necesaria para potenciales que no son funciones sino distribuciones, como la función delta de Dirac .
11. Es fácil visualizar una secuencia de funciones que cumplen con el requisito que converge en unafunción discontinua . Para ello, modifique un ejemplo dado en el espacio interior del producto # Ejemplos . Sin embargo, este elemento es un elemento de L ² .
12. Por ejemplo, en la teoría de la perturbación se puede construir una secuencia de funciones que se aproximen a la función de onda verdadera. Se garantizará que esta secuencia converja en un espacio más grande, pero sin la suposición de un espacio de Hilbert completo, no se garantizará que la convergencia sea una función en el espacio relevante y, por lo tanto, se resuelva el problema original.
13. Algunas funciones que no son integrables en cuadrado, como las soluciones de partículas libres de ondas planas, son necesarias para la descripción como se describe en una nota anterior y también más adelante.
14. Aquí:es una suma múltiple.${\displaystyle \sum _{\boldsymbol {\alpha }}\equiv \sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}\equiv \sum _{\alpha _{1}}\sum _{\alpha _{2}}\cdots \sum _{\alpha _{n}}}$

Citas

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22. Weinberg (2002) adopta el punto de vista de que la teoría cuántica de campos aparece de la forma en que lo hace porque es la única forma de reconciliar la mecánica cuántica con la relatividad especial.
23. Weinberg (2002) Véase especialmente el capítulo 5, donde se derivan algunos de estos resultados.
24. Weinberg 2002 Capítulo 4.
25. Zwiebach, 2009 .
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Lectura adicional

• Kim, Yong-Ki (2 de septiembre de 2000). Física atómica práctica (PDF) . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología. págs. 1 (55 s). Archivado desde el original (PDF) el 22 de julio de 2011.
• Polkinghorne, John (2002). Teoría cuántica, una introducción muy breve . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-280252-1.

Enlaces externos

• Mecánica cuántica para ingenieros
• Funciones de onda de giro NYU
• Partículas idénticas revisitadas, Michael Fowler
• La naturaleza de las funciones de onda de muchos electrones
• Mecánica cuántica y computación cuántica en BerkeleyX
• Einstein, la teoría cuántica de la radiación