En topología algebraica , una rama de las matemáticas , el teorema de la escisión es un teorema sobre homología relativa y uno de los axiomas de Eilenberg-Steenrod . Dado un espacio topológico y subespacios y tal que es también un subespacio de , el teorema dice que bajo ciertas circunstancias, podemos recortar ( impuestos especiales )de ambos espacios de modo que las homologías relativas de los pares dentro son isomorfos.
Esto ayuda en el cálculo de grupos de homología singulares , ya que a veces, después de eliminar un subespacio elegido apropiadamente, obtenemos algo más fácil de calcular.
Teorema
Declaración
Si son como arriba, decimos que puede eliminarse si el mapa de inclusión del par dentro induce un isomorfismo en las homologías relativas:
El teorema establece que si el cierre deestá contenido en el interior de, luego se puede extirpar.
A menudo, los subespacios que no satisfacen este criterio de contención aún se pueden escindir; basta con poder encontrar una deformación retraída de los subespacios hacia los subespacios que sí lo satisfacen.
Prueba de boceto
La demostración del teorema de la escisión es bastante intuitiva, aunque los detalles son bastante complicados. La idea es subdividir los simples en un ciclo relativo en para obtener otra cadena que consta de simples "más pequeños", y continuar el proceso hasta que cada simplex de la cadena se encuentre completamente en el interior de o el interior de . Dado que estos forman una cubierta abierta paray los simplices son compactos , eventualmente podemos hacer esto en un número finito de pasos. Este proceso deja la clase de homología original de la cadena sin cambios (esto dice que el operador de subdivisión es homotópico de cadena con el mapa de identidad en la homología). En la homología relativa, entonces, esto dice todos los términos contenidos íntegramente en el interior de puede descartarse sin afectar la clase de homología del ciclo. Esto nos permite mostrar que el mapa de inclusión es un isomorfismo, ya que cada ciclo relativo equivale a uno que evita enteramente.
Aplicaciones
Axiomas de Eilenberg-Steenrod
Se considera que el teorema de la escisión es uno de los axiomas de Eilenberg-Steenrod.
Secuencias de Mayer-Vietoris
La secuencia de Mayer-Vietoris se puede derivar con una combinación del teorema de la escisión y la secuencia larga exacta. [1]
Ejemplos de
. [2]
Ver también
Referencias
- ^ Ver Hatcher 2002, p.149, por ejemplo
- ^ Robert Fiengo ; Howard Lasnik (1972). "Sobre eliminación irrecuperable en sintaxis" . Investigación lingüística . 3 (4): 528 . Consultado el 11 de mayo de 2012 .
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Bibliografía
- Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1
- Allen Hatcher , topología algebraica. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.