En matemáticas , en particular la topología algebraica y la teoría de homología , la secuencia de Mayer-Vietoris es una herramienta algebraica para ayudar a calcular invariantes algebraicos de espacios topológicos , conocidos como sus grupos de homología y cohomología . El resultado se debe a dos matemáticos austriacos , Walther Mayer y Leopold Vietoris . El método consiste en dividir un espacio en subespacios., para lo cual los grupos de homología o cohomología pueden ser más fáciles de calcular. La secuencia relaciona los grupos de (co) homología del espacio con los grupos de (co) homología de los subespacios. Es una secuencia natural larga exacta , cuyas entradas son los grupos de (co) homología de todo el espacio, la suma directa de los grupos de (co) homología de los subespacios y los grupos de (co) homología de la intersección de los subespacios.
La secuencia de Mayer-Vietoris es válida para una variedad de teorías de cohomología y homología , incluida la homología simplicial y la cohomología singular . En general, la secuencia es válida para aquellas teorías que satisfacen los axiomas de Eilenberg-Steenrod , y tiene variaciones tanto para la (co) homología reducida como para la relativa . Debido a que la (co) homología de la mayoría de los espacios no se puede calcular directamente a partir de sus definiciones, se utilizan herramientas como la secuencia de Mayer-Vietoris con la esperanza de obtener información parcial. Muchos espacios encontrados en topología se construyen juntando parches muy simples. La elección cuidadosa de los dos subespacios de cobertura para que, junto con su intersección, tengan una (co) homología más simple que la del espacio completo, puede permitir una deducción completa de la (co) homología del espacio. En ese sentido, la secuencia de Mayer-Vietoris es análoga al teorema de Seifert-van Kampen para el grupo fundamental , y existe una relación precisa para la homología de dimensión uno.
Antecedentes, motivación e historia
Como el grupo fundamental o los grupos de homotopía superior de un espacio, los grupos de homología son importantes invariantes topológicos. Aunque algunas teorías de (co) homología son computables usando herramientas de álgebra lineal , muchas otras teorías de (co) homología importantes, especialmente la (co) homología singular, no son computables directamente a partir de su definición para espacios no triviales. Para la (co) homología singular, los grupos de (co) cadenas y (co) ciclos singulares son a menudo demasiado grandes para manejarlos directamente. Se hacen necesarios enfoques más sutiles e indirectos. La secuencia de Mayer-Vietoris es un enfoque de este tipo, que proporciona información parcial sobre los grupos de (co) homología de cualquier espacio relacionándolo con los grupos de (co) homología de dos de sus subespacios y su intersección.
La forma más natural y conveniente de expresar la relación involucra el concepto algebraico de secuencias exactas : secuencias de objetos (en este caso grupos ) y morfismos (en este caso , homomorfismos grupales ) entre ellos, de modo que la imagen de un morfismo es igual al núcleo del Siguiente. En general, esto no permite que los grupos de (co) homología de un espacio se calculen completamente. Sin embargo, debido a que muchos espacios importantes encontrados en topología son variedades topológicas , complejos simpliciales o complejos CW , que se construyen juntando parches muy simples, un teorema como el de Mayer y Vietoris es potencialmente de amplia y profunda aplicabilidad.
Mayer fue introducido a la topología por su colega Vietoris cuando asistía a sus conferencias en 1926 y 1927 en una universidad local en Viena . [1] Se le informó sobre el resultado conjeturado y la forma de su solución, y resolvió la cuestión de los números de Betti en 1929. [2] Aplicó sus resultados al toro considerado como la unión de dos cilindros. [3] [4] Vietoris demostró más tarde el resultado completo para los grupos de homología en 1930, pero no lo expresó como una secuencia exacta. [5] El concepto de secuencia exacta sólo apareció impreso en el libro de 1952 Foundations of Algebraic Topology de Samuel Eilenberg y Norman Steenrod [6], donde los resultados de Mayer y Vietoris se expresaron en la forma moderna. [7]
Versiones básicas para homología singular
Deje X ser un espacio topológico y A , B sea dos subespacios cuyos interiores cubrir X . (Los interiores de A y B no necesitan estar separados.) La secuencia de Mayer-Vietoris en homología singular para la tríada ( X , A , B ) es una secuencia larga y exacta que relaciona los grupos de homología singular (con el grupo de coeficientes los enteros Z ) de los espacios de X , A , B , y la intersección A ∩ B . [8] Hay una versión reducida y una no reducida.
Versión no reducida
Para homología no reducida, la secuencia de Mayer-Vietoris establece que la siguiente secuencia es exacta: [9]
Aquí i : A ∩ B ↪ A , j : A ∩ B ↪ B , k : A ↪ X , y l : B ↪ X son mapas de inclusión ydenota la suma directa de grupos abelianos .
Mapa de límites
Los mapas de límites ∂ ∗ que reducen la dimensión pueden definirse como sigue. [10] Un elemento en H n ( X ) es la clase de homología de un n- ciclo x que, por subdivisión baricéntrica, por ejemplo, se puede escribir como la suma de dos n- cadenas u y v cuyas imágenes se encuentran completamente en A y B , respectivamente. Por lo tanto, ∂ x = ∂ ( u + v ) = 0 de modo que ∂ u = −∂ v . Esto implica que las imágenes de estos dos límites ( n - 1) -cycles están contenidas en la intersección A ∩ B . Entonces ∂ ∗ ([ x ]) se puede definir como la clase de ∂ u en H n −1 ( A ∩ B ). Elegir otra descomposición x = u ′ + v ′ no afecta a [∂ u ], ya que ∂ u + ∂ v = ∂ x = ∂ u ′ + ∂ v ′ , lo que implica ∂ u - ∂ u ′ = ∂ ( v ′ - v ) y, por tanto, ∂ u y ∂ u ′ pertenecen a la misma clase de homología; Tampoco elegir un representante diferente x ' , desde entonces ∂ x' = ∂ x = 0. Obsérvese que los mapas en la secuencia de Mayer-Vietoris dependen de la elección de una orden para A y B . En particular, el mapa de límites cambia de signo si A y B se intercambian.
Versión reducida
Para la homología reducida también hay una secuencia de Mayer-Vietoris, bajo el supuesto de que A y B tienen una intersección no vacía . [11] La secuencia es idéntica para las dimensiones positivas y termina como:
Analogía con el teorema de Seifert-van Kampen
Existe una analogía entre la secuencia de Mayer-Vietoris (especialmente para grupos de homología de dimensión 1) y el teorema de Seifert-van Kampen . [10] [12] Siempre queestá conectado por ruta , la secuencia reducida de Mayer-Vietoris produce el isomorfismo
donde, por exactitud,
Este es precisamente el enunciado abelianizado del teorema de Seifert-van Kampen. Compare con el hecho de quees la abelianización del grupo fundamental Cuándo está conectado con la ruta. [13]
Aplicaciones basicas
k -esfera
Para calcular completamente la homología de la k -esfera X = S k , sean A y B dos hemisferios de X con homotopía de intersección equivalente a una ( k - 1) -esfera ecuatorial dimensional. Dado que los hemisferios k -dimensionales son homeomórficos a los k -discos, que son contráctiles , los grupos de homología para A y B son triviales . La secuencia de Mayer-Vietoris para grupos de homología reducida produce
La exactitud implica inmediatamente que el mapa ∂ * es un isomorfismo. Utilizando la homología reducida de la esfera 0 (dos puntos) como caso base , sigue [14]
donde δ es el delta de Kronecker . Una comprensión tan completa de los grupos de homología para esferas está en marcado contraste con el conocimiento actual de los grupos de esferas de homotopía , especialmente para el caso n > k del que se sabe poco. [15]
Botella de klein
Una aplicación un poco más difícil de la secuencia de Mayer-Vietoris es el cálculo de los grupos de homología de la botella X de Klein . Uno usa la descomposición de X como la unión de dos tiras A y B de Möbius pegadas a lo largo de su círculo límite (ver ilustración a la derecha). Entonces A , B y su intersección A ∩ B son homotopía equivalente a círculos, por lo que la parte no trivial de la secuencia produce [16]
y la parte trivial implica la desaparición de la homología para dimensiones superiores a 2. El mapa central α envía 1 a (2, -2) ya que el círculo límite de una banda de Möbius envuelve dos veces el círculo central. En particular, α es inyectivo, por lo que la homología de dimensión 2 también desaparece. Finalmente, eligiendo (1, 0) y (1, −1) como base para Z 2 , se sigue
Sumas de cuña
Deje que X sea la suma de cuña de dos espacios K y L , y supongamos además que la identificada punto base es un retracto de deformación de entornos abiertos U ⊆ K y V ⊆ L . Dejando A = K ∪ V y B = U ∪ L, se sigue que A ∪ B = X y A ∩ B = U ∪ V , que es contráctil por construcción. La versión reducida de la secuencia produce (por exactitud) [17]
para todas las dimensiones n . La ilustración de la derecha muestra X como la suma de dos 2-esferas K y L . Para este caso específico, usando el resultado de arriba para 2 esferas, uno tiene
Suspensiones
Si X es la suspensión SY de un espacio Y , sean A y B los complementos en X de los 'vértices' superior e inferior del doble cono, respectivamente. Entonces X es la unión A ∪ B , con A y B contractibles. Además, la intersección A ∩ B es homotopy equivalente a Y . Por lo tanto, la secuencia de Mayer-Vietoris produce, para todo n , [18]
La ilustración de la derecha muestra la 1-esfera X como la suspensión de la 0-esfera Y . Teniendo en cuenta en general que la k -esfera es la suspensión de la ( k - 1) -esfera, es fácil derivar los grupos de homología de la k -esfera por inducción, como se indicó anteriormente .
Más discusión
Forma relativa
Una relación también existe forma de la secuencia de Mayer-Vietoris. Si Y ⊂ X y es la unión de C ⊂ A y D ⊂ B , entonces la secuencia exacta es: [19]
Naturalidad
Los grupos de homología son naturales en el sentido de que sies un mapa continuo , entonces hay un mapa de empuje hacia adelante canónico de grupos de homología tal que la composición de pushforwards es el pushforward de una composición: es decir, La secuencia de Mayer-Vietoris también es natural en el sentido de que si
luego el morfismo de conexión de la secuencia de Mayer-Vietoris, viaja con . [20] Es decir, el siguiente diagrama conmuta [21] (los mapas horizontales son los habituales):
Versiones cohomológicas
La secuencia larga exacta de Mayer-Vietoris para grupos de cohomología singulares con grupo de coeficientes G es dual a la versión homológica. Es el siguiente: [22]
donde los mapas de preservación de dimensiones son mapas de restricción inducidos a partir de inclusiones, y los mapas de (co) límites se definen de manera similar a la versión homológica. También hay una formulación relativa.
Como un caso especial importante cuando G es el grupo de números reales R y el espacio topológico subyacente tiene la estructura adicional de una variedad suave , la secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de Rham es
donde { U , V } es una cobertura abierta de X, ρ denota el mapa de restricción y Δ es la diferencia. El mapa se define de forma similar al mapa desde arriba. Puede describirse brevemente de la siguiente manera. Para una clase de cohomología [ ω ] representada por la forma cerrada ω en U ∩ V , exprese ω como una diferencia de formasa través de una partición de unidad subordinada a la tapa abierta { U , V } , por ejemplo. El derivado exterior dω U y dω V están de acuerdo en U ∩ V y por lo tanto definen conjuntamente un n + 1 forma σ en X . Entonces uno tiene d ∗ ([ ω ]) = [ σ ] .
Para la cohomología de De Rham con soportes compactos, existe una versión "invertida" de la secuencia anterior:
dónde ,, son como arriba, es el mapa de inclusión firmado dónde extiende una forma con soporte compacto a una forma en por cero, y es la suma. [23]
Derivación
Considere la secuencia exacta larga asociada a las secuencias exactas cortas de grupos de cadenas (grupos constituyentes de complejos de cadenas )
donde α ( x ) = ( x , - x ), β ( x , y ) = x + y , y C n ( A + B ) es el grupo de cadena que consiste en sumas de cadenas en A y cadenas en B . [9] Es un hecho que los n -simplices singulares de X cuyas imágenes están contenidas en A o B generan todo el grupo de homología H n ( X ). [24] En otras palabras, H n ( A + B ) es isomorfo a H n ( X ). Esto da la secuencia de Mayer-Vietoris para homología singular.
El mismo cálculo aplicado a las breves secuencias exactas de espacios vectoriales de formas diferenciales.
produce la secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de De Rham. [25]
Desde un punto de vista formal, la secuencia de Mayer-Vietoris puede derivarse de los axiomas de Eilenberg-Steenrod para las teorías de homología usando la secuencia larga exacta en homología . [26]
Otras teorías de homología
La derivación de la secuencia de Mayer-Vietoris a partir de los axiomas de Eilenberg-Steenrod no requiere el axioma de la dimensión , [27] por lo que además de existir en las teorías de cohomología ordinarias , se mantiene en teorías de cohomología extraordinarias (como la teoría K topológica y el cobordismo ) .
Cohomología de la gavilla
Desde el punto de vista de la cohomología de la gavilla , la secuencia de Mayer-Vietoris está relacionada con la cohomología de Čech . Específicamente, surge de la degeneración de la secuencia espectral que relaciona la cohomología Čech con la cohomología de gavilla (a veces llamada secuencia espectral de Mayer-Vietoris ) en el caso de que la cubierta abierta utilizada para calcular la cohomología Čech consta de dos conjuntos abiertos. [28] Esta secuencia espectral existe en topoi arbitrarios . [29]
Ver también
- Teorema de escisión
- Lema en zig-zag
Notas
- ^ Hirzebruch 1999
- ↑ Mayer, 1929
- ^ Dieudonné 1989 , p. 39
- ↑ Mayer , 1929 , p. 41
- ^ Vietoris 1930
- ^ Corry 2004 , p. 345
- ^ Eilenberg y Steenrod 1952 , Teorema 15.3
- ^ Eilenberg y Steenrod 1952 , §15
- ↑ a b Hatcher , 2002 , p. 149
- ↑ a b Hatcher , 2002 , p. 150
- ^ Spanier 1966 , p. 187
- ^ Massey 1984 , p. 240
- ^ Hatcher 2002 , Teorema 2A.1, p. 166
- ^ Hatcher 2002 , ejemplo 2.46, p. 150
- ^ Hatcher 2002 , p. 384
- ^ Hatcher 2002 , p. 151
- ^ Hatcher 2002 , ejercicio 31 en la página 158
- ^ Hatcher 2002 , ejercicio 32 en la página 158
- ^ Hatcher 2002 , p. 152
- ^ Massey 1984 , p. 208
- ^ Eilenberg y Steenrod 1952 , Teorema 15.4
- ^ Hatcher 2002 , p. 203
- ^ Bott, Raoul. Formas diferenciales en topología algebraica . Tu, Loring W. Nueva York. ISBN 978-0-387-90613-3. OCLC 7597142 .
- ^ Hatcher 2002 , Proposición 2.21, p. 119
- ^ Bott y Tu 1982 , §I.2
- ^ Hatcher 2002 , p. 162
- ^ Kōno y Tamaki , 2006 , págs. 25-26
- ^ Dimca 2004 , págs. 35-36
- ↑ Verdier 1972 (SGA 4.V.3)
Referencias
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- Mayer, Walther (1929), "Über abstrakte Topologie", Monatshefte für Mathematik , 36 (1): 1–42, doi : 10.1007 / BF02307601 , ISSN 0026-9255. (en alemán)
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Otras lecturas
- Reitberger, Heinrich (2002), "Leopold Vietoris (1891-2002)" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 49 (20), ISSN 0002-9920.