En estadística y econometría , los estimadores de extremos son una amplia clase de estimadores para modelos paramétricos que se calculan mediante la maximización (o minimización) de una determinada función objetivo , que depende de los datos. Amemiya (1985) desarrolló la teoría general de los estimadores de extremos .
Definición
Un estimador se llama estimador de extremos , si hay una función objetivo tal que
donde Θ es el espacio de parámetros . A veces se da una definición un poco más débil:
donde o p (1) es la variable que converge en probabilidad a cero . Con esta modificación no tiene que ser el maximizador exacto de la función objetivo, simplemente estar lo suficientemente cerca de ella.
La teoría de los estimadores de extremos no especifica cuál debería ser la función objetivo. Existen varios tipos de funciones objetivas adecuadas para diferentes modelos, y este marco nos permite analizar las propiedades teóricas de dichos estimadores desde una perspectiva unificada. La teoría solo especifica las propiedades que debe poseer la función objetivo, por lo que seleccionar una función objetivo en particular solo requiere verificar que se satisfagan esas propiedades.
Consistencia
Si el espacio de parámetros Θ es compacto y hay una función de limitación Q 0 ( θ ) tal que:converge a Q 0 ( θ ) en probabilidad uniformemente sobre Θ, y la función Q 0 ( θ ) es continua y tiene un máximo único en θ = θ 0 . Si se cumplen estas condiciones,es consistente para θ 0 . [1]
La convergencia uniforme en la probabilidad de significa que
El requisito de que Θ sea compacto se puede reemplazar con una suposición más débil de que el máximo de Q 0 estaba bien separado, es decir, no debería existir ningún punto θ que esté distante de θ 0 pero tal que Q 0 ( θ ) esté cerca a Q 0 ( θ 0 ). Formalmente, significa que para cualquier secuencia { θ i } tal que Q 0 ( θ i ) → Q 0 ( θ 0 ) , debería ser cierto que θ i → θ 0 .
Normalidad asintótica
Suponiendo que se ha establecido la consistencia y las derivadas de la muestra satisfacen algunas otras condiciones, [2] el estimador de extremos converge a una distribución asintóticamente normal
Ejemplos de
- La estimación de máxima verosimilitud utiliza la función objetivo
- El estimador del método generalizado de momentos se define a través de la función objetivo
- Estimador de distancia mínima
Ver también
Notas
- ^ Newey y McFadden (1994), Teorema 2.1
- ^ Shi, Xiaoxia. "Notas de la conferencia: normalidad asintótica de los estimadores de extremos" (PDF) .
- ^ Hayashi, Fumio (2000). Econometría . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 448. ISBN 0-691-01018-8.
- ^ Hayashi, Fumio (2000). Econometría . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 447. ISBN 0-691-01018-8.
Referencias
- Amemiya, Takeshi (1985). "Propiedades asintóticas de los estimadores de extremos" . Econometría avanzada . Prensa de la Universidad de Harvard. págs. 105-158 . ISBN 0-674-00560-0.
- Hayashi, Fumio (2000). "Estimadores de extremos" . Econometría . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 445–506. ISBN 0-691-01018-8.
- Newey, Whitney K .; McFadden, Daniel (1994). "Prueba de hipótesis y estimación de muestras grandes". Manual de Econometría . IV . Ciencia de Elsevier. págs. 2111–2245. doi : 10.1016 / S1573-4412 (05) 80005-4 . ISBN 0-444-88766-0.