En la teoría de conjuntos y sus aplicaciones en las matemáticas , una clase es una colección de conjuntos (o, a veces, otros objetos matemáticos) que pueden definirse sin ambigüedades por una propiedad que comparten todos sus miembros. Las clases actúan como una forma de tener colecciones similares a conjuntos mientras se diferencian de los conjuntos para evitar la Paradoja de Russell (Ver #Paradoxes ). La definición precisa de "clase" depende del contexto fundamental. En el trabajo sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la noción de clase es informal, mientras que otras teorías de conjuntos, como la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel, axiomatizan la noción de "clase adecuada", por ejemplo, como entidades que no son miembros de otra entidad.
Una clase que no es un conjunto (informalmente en Zermelo-Fraenkel) se llama clase propia , y una clase que es un conjunto a veces se llama clase pequeña . Por ejemplo, la clase de todos los números ordinales y la clase de todos los conjuntos son clases adecuadas en muchos sistemas formales.
En los escritos teóricos de conjuntos de Quine, la frase "clase última" se usa a menudo en lugar de la frase "clase adecuada", enfatizando que en los sistemas que él considera, ciertas clases no pueden ser miembros y, por lo tanto, son el término final en cualquier cadena de pertenencia a la cual ellos pertenecen.
Fuera de la teoría de conjuntos, la palabra "clase" a veces se utiliza como sinónimo de "conjunto". Este uso data de un período histórico en el que las clases y los conjuntos no se distinguían como en la terminología moderna de la teoría de conjuntos. [1] Muchas discusiones sobre "clases" en el siglo XIX y antes en realidad se refieren a conjuntos, o más bien tal vez tienen lugar sin considerar que ciertas clases pueden dejar de ser conjuntos.
La colección de todas las estructuras algebraicas de un tipo dado suele ser una clase adecuada. Los ejemplos incluyen la clase de todos los grupos , la clase de todos los espacios vectoriales y muchos otros. En la teoría de categorías , una categoría cuya colección de objetos forma una clase adecuada (o cuya colección de morfismos forma una clase adecuada) se denomina categoría grande .
Dentro de la teoría de conjuntos, muchas colecciones de conjuntos resultan ser clases adecuadas. Los ejemplos incluyen la clase de todos los conjuntos, la clase de todos los números ordinales y la clase de todos los números cardinales.