f ( R ) gravedad

Teoría de la gravedad

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f ( R ) es un tipo deteoría de la gravedad modificada que generaliza la relatividad general de Einstein . f ( R ) la gravedad es en realidad una familia de teorías, cada una definida por una función diferente, f , del escalar Ricci , R . El caso más simple es que la función sea igual al escalar; esta es la relatividad general. Como consecuencia de la introducción de una función arbitraria, puede haber libertad para explicar la expansión acelerada y la formación de la estructura del Universo sin agregar formas desconocidas de energía oscura omateria oscura . Algunas formas funcionales pueden inspirarse en correcciones derivadas de una teoría cuántica de la gravedad . La gravedad f ( R ) fue propuesta por primera vez en 1970 por Hans Adolph Buchdahl ^[1] (aunque se usó ϕ en lugar de f para el nombre de la función arbitraria). Se ha convertido en un campo de investigación activo tras el trabajo de Starobinsky sobre la inflación cósmica . ^[2] Se puede producir una amplia gama de fenómenos a partir de esta teoría adoptando diferentes funciones; sin embargo, ahora se pueden descartar muchas formas funcionales por motivos de observación o debido a problemas teóricos patológicos.

Introducción

En la gravedad f ( R ), se busca generalizar el Lagrangiano de la acción de Einstein-Hilbert :

${\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$

a

${\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }f(R){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$

donde es el determinante del tensor métrico , y es alguna función del escalar de Ricci .${\displaystyle \kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu \nu }}$${\displaystyle f(R)}$

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Gravedad métrica f ( R )

Derivación de ecuaciones de campo

En la gravedad métrica f ( R ), se llega a las ecuaciones de campo variando con respecto a la métrica y no tratando la conexión de forma independiente. Para completar, ahora mencionaremos brevemente los pasos básicos de la variación de la acción. Los pasos principales son los mismos que en el caso de la variación de la acción de Einstein-Hilbert (consulte el artículo para obtener más detalles), pero también existen algunas diferencias importantes.

La variación del determinante es como siempre:

${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }}$

El escalar de Ricci se define como

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.}$

Por tanto, su variación con respecto a la métrica inversa viene dada por${\displaystyle g^{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\left(\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}}$

Para el segundo paso, consulte el artículo sobre la acción de Einstein-Hilbert . Dado que es la diferencia de dos conexiones, debería transformarse como un tensor. Por lo tanto, se puede escribir como ${\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

${\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla _{\mu }\delta g_{a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\right).}$

Sustituyendo en la ecuación anterior:

${\displaystyle \delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }}$

donde es la derivada covariante y es el operador D'Alembert .${\displaystyle \nabla _{\mu }}$${\displaystyle \square =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }}$

Denotando , la variación en la acción dice:${\displaystyle F(R)={\frac {df}{dR}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S[g]&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f(R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(F(R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\left(F(R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$

Haciendo la integración por partes en el segundo y tercer términos (y descuidando las contribuciones de los límites), obtenemos:

${\displaystyle \delta S[g]=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu \nu }\left(F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }]F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x.}$

Al exigir que la acción permanezca invariante bajo variaciones de la métrica , se obtienen las ecuaciones de campo:${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=0}$

${\displaystyle F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}f(R)g_{\mu \nu }+\left[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu },}$

donde se define el tensor de energía-momento como${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} })}{\delta g^{\mu \nu }}},}$

donde esta la materia lagrangiana.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}}$

Las ecuaciones de Friedmann generalizadas

Suponiendo una métrica de Robertson-Walker con factor de escala , podemos encontrar que las ecuaciones de Friedmann generalizadas son (en unidades donde ):${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle \kappa =1}$

${\displaystyle 3FH^{2}=\rho _{\rm {m}}+\rho _{\rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\dot {F}}}$

${\displaystyle -2F{\dot {H}}=\rho _{\rm {m}}+{\frac {4}{3}}\rho _{\rm {rad}}+{\ddot {F}}-H{\dot {F}},}$

dónde

${\displaystyle H={\frac {\dot {a}}{a}},}$

el punto es la derivada con respecto al tiempo cósmico t , y los términos rho _m y ρ _rad representan las densidades de materia y la radiación, respectivamente; estos satisfacen las ecuaciones de continuidad:

${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {m}}+3H\rho _{\rm {m}}=0;}$

${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {rad}}+4H\rho _{\rm {rad}}=0.}$

Constante de Newton modificada

Una característica interesante de estas teorías es el hecho de que la constante gravitacional depende del tiempo y la escala. ^[3] Para ver esto, agregue una pequeña perturbación escalar a la métrica (en el calibre newtoniano ):

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(1+2\Phi )\mathrm {d} t^{2}+\alpha ^{2}(1-2\Psi )\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$

donde Φ y Ψ son los potenciales newtonianos y usan las ecuaciones de campo de primer orden. Después de algunos cálculos prolongados, se puede definir una ecuación de Poisson en el espacio de Fourier y atribuir los términos adicionales que aparecen en el lado derecho a una constante gravitacional efectiva G _eff . Al hacerlo, obtenemos el potencial gravitacional (válido en escalas de subhorizonte k ² ≫ a ² H ² ):

${\displaystyle \Phi =-4\pi G_{\mathrm {eff} }{\frac {a^{2}}{k^{2}}}\delta \rho _{\mathrm {m} }}$

donde δ ρ _m es una perturbación en la densidad de la materia, k es la escala de Fourier y G _eff es:

${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{8\pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},}$

con

${\displaystyle m\equiv {\frac {RF_{,R}}{F}}.}$

Ondas gravitacionales masivas

Esta clase de teorías cuando se linealizan exhibe tres modos de polarización para las ondas gravitacionales , de los cuales dos corresponden al gravitón sin masa (helicidades ± 2) y el tercero (escalar) proviene del hecho de que si tomamos en cuenta una transformación conforme, la La teoría de cuarto orden f ( R ) se convierte en relatividad general más un campo escalar . Para ver esto, identifique

${\displaystyle \Phi \to f'(R)\quad {\textrm {and}}\quad {\frac {dV}{d\Phi }}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},}$

y use las ecuaciones de campo anteriores para obtener

${\displaystyle \Box \Phi ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \Phi }}}$

Trabajando con la teoría de la perturbación de primer orden:

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \Phi =\Phi _{0}+\delta \Phi }$

y después de un poco de álgebra tediosa, se puede resolver la perturbación métrica, que corresponde a las ondas gravitacionales. Un componente de frecuencia particular, para una onda que se propaga en la dirección z , puede escribirse como

${\displaystyle h_{\mu \nu }(t,z;\omega )=A^{+}(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{+}+A^{\times }(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{\times }+h_{f}(v_{\mathrm {g} }t-z;\omega )\eta _{\mu \nu }}$

dónde

${\displaystyle h_{f}\equiv {\frac {\delta \Phi }{\Phi _{0}}},}$

y v _g ( ω ) = d ω / d k es la velocidad de grupo de un paquete de ondas h _f centrado en el vector de ondas k . Los dos primeros términos corresponden a las polarizaciones transversales habituales de la relatividad general, mientras que el tercero corresponde al nuevo modo de polarización masiva de las teorías f ( R ). Los modos transversales se propagan a la velocidad de la luz , pero el modo escalar se mueve a una velocidad v _G  <1 (en unidades donde c  = 1), este modo es dispersivo.

Formalismo equivalente

Bajo ciertas condiciones adicionales ^[4] podemos simplificar el análisis de las teorías f ( R ) introduciendo un campo auxiliar Φ . Suponiendo que para todo R , sea V ( Φ ) la transformación de Legendre de f ( R ) de modo que y . Entonces, se obtiene la acción de O'Hanlon (1972):${\displaystyle f''(R)\neq 0}$${\displaystyle \Phi =f'(R)}$${\displaystyle R=V'(\Phi )}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[{\frac {1}{2\kappa }}\left(\Phi R-V(\Phi )\right)+{\mathcal {L}}_{\text{m}}\right].}$

Tenemos las ecuaciones de Euler-Lagrange

${\displaystyle V'(\Phi )=R}$

${\displaystyle \Phi \left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)+\left(g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu }}$

Eliminando Φ , obtenemos exactamente las mismas ecuaciones que antes. Sin embargo, las ecuaciones son solo de segundo orden en las derivadas, en lugar de cuarto orden.

Actualmente estamos trabajando con el marco Jordan . Realizando un reescalado conforme

${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi g_{\mu \nu },}$

transformamos al marco de Einstein :

${\displaystyle R=\Phi \left[{\tilde {R}}+{\frac {3{\tilde {\Box }}\Phi }{\Phi }}-{\frac {9}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}-{\frac {V(\Phi )}{\Phi ^{2}}}\right]}$

después de integrar por partes.

Definiendo y sustituyendo${\displaystyle {\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }}$

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {\Phi }}\right)^{2}-{\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})\right]}$

${\displaystyle {\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})=e^{-{\frac {2}{\sqrt {3}}}{\tilde {\Phi }}}V\left(e^{{\tilde {\Phi }}/{\sqrt {3}}}\right).}$

Esta es la relatividad general acoplada a un campo escalar real: usar teorías f ( R ) para describir el universo en aceleración es prácticamente equivalente a usar la quintaesencia . (Al menos, equivalente a la advertencia de que aún no hemos especificado acoplamientos de materia, por lo que (por ejemplo ) la gravedad f ( R ) en la que la materia está mínimamente acoplada a la métrica (es decir, en el marco de Jordan) es equivalente a una teoría de quintaesencia en el que el campo escalar media una quinta fuerza con fuerza gravitacional.)

Palatini f ( R ) gravity

En Palatini f ( R ) gravity, se trata la métrica y la conexión de forma independiente y se varía la acción con respecto a cada una de ellas por separado. Se supone que la materia lagrangiana es independiente de la conexión. Se ha demostrado que estas teorías son equivalentes a la teoría de Brans-Dicke con ω = - 3 ⁄ 2 . ^{[5] [6]} Sin embargo, debido a la estructura de la teoría, las teorías de Palatini f ( R ) parecen estar en conflicto con el Modelo Estándar, ^{[5] [7]} pueden violar los experimentos del Sistema Solar, ^[6]y parecen crear singularidades no deseadas. ^[8]

Gravedad f ( R ) afín métrica

En la gravedad métrica-afín f ( R ), uno generaliza las cosas aún más, tratando tanto la métrica como la conexión de forma independiente, y asumiendo que la materia depende de la conexión también lagrangiana.

Pruebas de observación

Como hay muchas formas potenciales de gravedad f ( R ), es difícil encontrar pruebas genéricas. Además, dado que las desviaciones de la relatividad general pueden hacerse arbitrariamente pequeñas en algunos casos, es imposible excluir de manera concluyente algunas modificaciones. Se puede hacer algún progreso, sin asumir una forma concreta para la función f ( R ) mediante la expansión de Taylor

${\displaystyle f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+\cdots }$

El primer término es como la constante cosmológica y debe ser pequeño. El siguiente coeficiente a ₁ se puede establecer en uno como en la relatividad general. Para métrica f ( R ) gravedad (en contraposición a métrica-afín Palatini o f ( R ) de la gravedad), el término cuadrático es mejor limitada por quinta fuerza mediciones, ya que conduce a un Yukawa corrección a la potencial gravitacional. Los mejores límites actuales son | a ₂ | <4 × 10 ⁻⁹  m ² o equivalente | a ₂ | <2,3 × 10 ²²  GeV ^-2 . ^{[9] [10]}

El formalismo post-newtoniano parametrizado está diseñado para poder restringir las teorías genéricas modificadas de la gravedad. Sin embargo, la gravedad f ( R ) comparte muchos de los mismos valores que la relatividad general y, por lo tanto, es indistinguible con estas pruebas. ^[11] En particular, la deflexión de la luz no cambia, por lo que la gravedad f ( R ), como la Relatividad General, es totalmente consistente con los límites del seguimiento de Cassini . ^[9]

Gravedad de Starobinsky

Artículo principal: inflación de Starobinsky

La gravedad de Starobinsky tiene la siguiente forma

${\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}$

donde tiene las dimensiones de masa. ^[12]${\displaystyle M}$

Generalización tensorial

La gravedad f ( R ) presentada en las secciones anteriores es una modificación escalar de la relatividad general. De manera más general, podemos tener una

${\displaystyle \int \mathrm {d} ^{D}x{\sqrt {-g}}\,f(R,R^{\mu \nu }R_{\mu \nu },R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma })}$

acoplamiento que implica invariantes del tensor de Ricci y el tensor de Weyl . Los casos especiales son la gravedad f ( R ), la gravedad conforme , la gravedad Gauss-Bonnet y la gravedad Lovelock . Observe que con cualquier dependencia tensorial no trivial, normalmente tenemos grados de libertad de espín 2 masivos adicionales, además del gravitón sin masa y un escalar masivo. Una excepción es la gravedad Gauss-Bonnet, donde los términos de cuarto orden para los componentes spin-2 se cancelan.

Ver también

• Teorías extendidas de la gravedad
• Gravedad Gauss-Bonnet
• Gravedad Lovelock

Referencias

1. Buchdahl, HA (1970). "Lagrangianos no lineales y teoría cosmológica" . Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society . 150 : 1–8. Código bibliográfico : 1970MNRAS.150 .... 1B . doi : 10.1093 / mnras / 150.1.1 .
2. Starobinsky, AA (1980). "Un nuevo tipo de modelos cosmológicos isotrópicos sin singularidad". Physics Letters B . 91 (1): 99–102. Código bibliográfico : 1980PhLB ... 91 ... 99S . doi : 10.1016 / 0370-2693 (80) 90670-X .
3. Tsujikawa, Shinji (2007). "Perturbaciones de densidad de materia y constante gravitacional efectiva en modelos de gravedad modificados de energía oscura". Physical Review D . 76 (2): 023514. arXiv : 0705.1032 . Código Bibliográfico : 2007PhRvD..76b3514T . doi : 10.1103 / PhysRevD.76.023514 . S2CID 119324187 . 
4. De Felice, Antonio; Tsujikawa, Shinji (2010). "Teorías f (R)" . Reseñas vivientes en relatividad . 13 (1): 3. arXiv : 1002.4928 . Código bibliográfico : 2010LRR .... 13 .... 3D . doi : 10.12942 / lrr-2010-3 . PMC 5255939 . PMID 28179828 .  
5. Flanagan, EE (2004). "La libertad del marco conforme en las teorías de la gravitación". Gravedad clásica y cuántica . 21 (15): 3817–3829. arXiv : gr-qc / 0403063 . Código Bibliográfico : 2004CQGra..21.3817F . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 21/15 / N02 . S2CID 117619981 . 
6. Olmo, GJ (2005). "El lagrangiano de gravedad según los experimentos del sistema solar". Cartas de revisión física . 95 (26): 261102. arXiv : gr-qc / 0505101 . Código bibliográfico : 2005PhRvL..95z1102O . doi : 10.1103 / PhysRevLett.95.261102 . PMID 16486333 . S2CID 27440524 .  
7. Iglesias, A .; Kaloper, N .; Padilla, A .; Park, M. (2007). "Cómo (no) utilizar la formulación de Palatini de la gravedad del tensor escalar". Physical Review D . 76 (10): 104001. arXiv : 0708.1163 . Código Bibliográfico : 2007PhRvD..76j4001I . doi : 10.1103 / PhysRevD.76.104001 .
8. Barausse, E .; Sotiriou, TP; Miller, JC (2008). "Un teorema de no ir para esferas politrópicas en Palatini f ( R ) gravedad". Gravedad clásica y cuántica . 25 (6): 062001. arXiv : gr-qc / 0703132 . Código bibliográfico : 2008CQGra..25f2001B . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 25/6/062001 . S2CID 119370540 . 
9. Berry, CPL; Gair, JR (2011). "Gravedad f ( R ) linealizada : radiación gravitacional y pruebas del sistema solar". Physical Review D . 83 (10): 104022. arXiv : 1104.0819 . Código Bibliográfico : 2011PhRvD..83j4022B . doi : 10.1103 / PhysRevD.83.104022 . S2CID 119202399 . 
10. Cembranos, JAR (2009). "Materia oscura de R ² Gravity". Cartas de revisión física . 102 (14): 141301. arXiv : 0809.1653 . Código Bibliográfico : 2009PhRvL.102n1301C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.102.141301 . PMID 19392422 . S2CID 33042847 .  
11. Clifton, T. (2008). "Límite post-Newtoniano parametrizado de las teorías de la gravedad de cuarto orden". Physical Review D . 77 (2): 024041. arXiv : 0801.0983 . Código Bibliográfico : 2008PhRvD..77b4041C . doi : 10.1103 / PhysRevD.77.024041 . S2CID 54174617 . 
12. Starobinsky, AA (1980). "Un nuevo tipo de modelos cosmológicos isotrópicos sin singularidad". Physics Letters B . 91 : 99-102. Código bibliográfico : 1980PhLB ... 91 ... 99S . doi : 10.1016 / 0370-2693 (80) 90670-X .

Lectura adicional

• Consulte el capítulo 29 del libro de texto sobre "Partículas y campos cuánticos" de Kleinert, H. (2016), World Scientific (Singapur, 2016) (también disponible en línea ).
• Sotiriou, TP; Faraoni, V. (2010). "f (R) Teorías de la gravedad". Reseñas de Física Moderna . 82 (1): 451–497. arXiv : 0805.1726 . Código Bibliográfico : 2010RvMP ... 82..451S . doi : 10.1103 / RevModPhys.82.451 . S2CID  15024691 .
• Sotiriou, TP (2009). "6 + 1 lecciones de f (R) gravity". Journal of Physics: Serie de conferencias . 189 (9): 012039. arXiv : 0810.5594 . Código Bibliográfico : 2009JPhCS.189a2039S . doi : 10.1088 / 1742-6596 / 189/1/012039 . S2CID  14820388 .
• Capozziello, S .; De Laurentis, M. (2011). "Teorías extendidas de la gravedad". Informes de física . 509 (4–5): 167–321. arXiv : 1108.6266 . Código Bibliográfico : 2011PhR ... 509..167C . doi : 10.1016 / j.physrep.2011.09.003 . S2CID  119296243 .

Enlaces externos

• f ( R ) gravity en arxiv.org
• Teorías extendidas de la gravedad