En geometría algebraica , los cristales F son objetos introducidos por Mazur (1972) que capturan parte de la estructura de los grupos de cohomología cristalina . La letra F significa Frobenius , lo que indica que los cristales F tienen una acción de Frobenius sobre ellos. Los isocristales F son cristales "hasta la isogenia".
Supongamos que k es un campo perfecto , con anillo de vectores de Witt W y sea K el campo cociente de W , con automorfismo de Frobenius σ.
Sobre el campo k , un cristal F es un módulo libre M de rango finito sobre el anillo W de los vectores de Witt de k , junto con un endomorfismo inyectivo σ-lineal de M . Un isocristal F se define de la misma manera, excepto que M es un módulo para el campo cociente K de W en lugar de W.
El teorema de clasificación de Dieudonné-Manin fue demostrado por Dieudonné (1955) y Manin (1963) . Describe la estructura de isocristales F sobre un campo k algebraicamente cerrado . La categoría de tales F -isocristales es abeliana y semisimple, por lo que cada F -isocristal es una suma directa de F -isocristales simples. Los isocristales F simples son los módulos E s / r donde r y s son números enteros coprimos con r >0. El F -isocristal E s / rtiene una base sobre K de la forma v , Fv , F 2 v ,..., F r −1 v para algún elemento v , y F r v = p s v . El número racional s / r se llama la pendiente del F -isocristal.
Sobre un campo k no algebraicamente cerrado, los isocristales F simples son más difíciles de describir explícitamente, pero un isocristal F aún se puede escribir como una suma directa de subcristales que son isoclínicos, donde un cristal F se llama isoclínico si sobre el algebraico cierre de k es una suma de F -isocristales de la misma pendiente.
El polígono de Newton de un isocristal F codifica las dimensiones de las piezas de pendiente dada. Si el isocristal F es una suma de piezas isoclínicas con pendientes s 1 < s 2 < ... y dimensiones (como módulos de anillos de Witt) d 1 , d 2 ,... entonces el polígono de Newton tiene vértices (0,0) , ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ),... donde el enésimo segmento de línea que une los vértices tiene pendiente s n = ( y n − y n−1 )/( x n − x n −1 ) y proyección sobre el eje x de longitud d n = x n − x n −1 .