En matemáticas , un vector de Witt es una secuencia infinita de elementos de un anillo conmutativo . Ernst Witt mostró cómo poner una estructura de anillo en el conjunto de vectores de Witt, de tal manera que el anillo de vectores de Wittsobre el campo finito de orden p es el anillo de-enteros ádicos . Tienen una estructura altamente no intuitiva [1] a primera vista porque su estructura aditiva y multiplicativa depende de un conjunto infinito de fórmulas recursivas que no se comportan como fórmulas de suma y multiplicación para enteros p-ádicos estándar. La idea principal [1] detrás de los vectores de Witt es en lugar de usar el estándar-expansión ácida
para representar un elemento en , podemos considerar en cambio una expansión usando el carácter Teichmuller
que envía cada elemento en el conjunto de solución de en a un elemento en el conjunto solución de en . Es decir, expandimos elementos en en términos de raíces de unidad en lugar de como elementos profinitos en . Entonces podemos expresar un-entero ádico como una suma infinita
que da un vector de Witt
Entonces, la estructura aditiva y multiplicativa no trivial en los vectores de Witt proviene del uso de este mapa para dar una estructura aditiva y multiplicativa tal que induce un morfismo de anillo conmutativo.
Historia
En el siglo XIX, Ernst Eduard Kummer estudió extensiones cíclicas de campos como parte de su trabajo sobre el último teorema de Fermat . Esto llevó al tema ahora conocido como teoría de Kummer . Sea k un campo que contiene una raíz n- ésima primitiva de la unidad. La teoría de Kummer clasifica extensiones de campo cíclico de grado n K de k . Dichos campos están en biyección con orden n grupos cíclicos., dónde corresponde a .
Pero suponga que k tiene la característica p . El problema de estudiar extensiones de grado p de k , o más generalmente extensiones de grado p n , puede parecer superficialmente similar a la teoría de Kummer. Sin embargo, en esta situación, k no puede contener una p- ésima raíz de unidad primitiva . Si x es un p º raíz de la unidad de k , entonces se satisface. Pero considera la expresión. Al expandir usando coeficientes binomiales , vemos que la operación de elevar a la p- ésima potencia, conocida aquí como el homomorfismo de Frobenius , introduce el factor p en cada coeficiente excepto el primero y el último, por lo que módulo p estas ecuaciones son iguales. Por lo tanto. En consecuencia, la teoría de Kummer nunca es aplicable a extensiones cuyo grado sea divisible por la característica.
El caso en el que la característica divide el grado se llama ahora teoría de Artin-Schreier porque Artin y Schreier hicieron los primeros avances. Su motivación inicial fue el teorema de Artin-Schreier , que caracteriza a los campos cerrados reales como aquellos cuyo grupo de Galois absoluto tiene orden dos. [2] Esto los inspiró a preguntarse qué otros campos tenían grupos Galois absolutos finitos. En medio de probar que no existen otros campos similares, demostraron que las extensiones de grado p de un campo k de característica p eran lo mismo que los campos de división de los polinomios de Artin-Schreier . Estos son por definición de la formaAl repetir su construcción, describieron extensiones de grado p 2 . Abraham Adrian Albert usó esta idea para describir extensiones de grado p n . Cada repetición implicaba complicadas condiciones algebraicas para asegurar que la extensión del campo fuera normal. [3]
Schmid [4] generalizó aún más a álgebras cíclicas no conmutativas de grado p n . En el proceso de hacerlo, ciertos polinomios relacionados con la adición de-aparecieron enteros ádicos . Witt aprovechó estos polinomios. Utilizándolos sistemáticamente, pudo dar construcciones simples y unificadas de extensiones de campo de grado p n y álgebras cíclicas. Específicamente, introdujo un anillo ahora llamado W n ( k ), el anillo de los vectores Witt típicos p truncados n . Este anillo tiene k como cociente, y viene con un operador F que se llama operador de Frobenius porque se reduce al operador de Frobenius en k . Witt observa que el grado p n análogo de los polinomios de Artin-Schreier es
dónde . Para completar la analogía con la teoría de Kummer, defina ser el operador Entonces las extensiones de grado p n de k están en correspondencia biyectiva con subgrupos cíclicosde orden p n , donde corresponde al campo .
Motivación
Alguna -ádico entero (un elemento de , no confundir con ) se puede escribir como una serie de potencias , donde el generalmente se toman del intervalo de enteros . Es difícil proporcionar una expresión algebraica para la suma y la multiplicación usando esta representación, ya que uno enfrenta el problema de llevar entre dígitos. Sin embargo, tomando coeficientes representativoses sólo una de las muchas opciones, y el propio Hensel (el creador de-números ádicos) sugirieron las raíces de la unidad en el campo como representantes. Estos representantes son, por tanto, el número junto con el raíces de unidad ; es decir, las soluciones de en , así que eso . Esta elección se extiende naturalmente a las extensiones de anillo de en el que el campo de residuos se amplía a con , algo de poder de . De hecho, son estos campos (los campos de fracciones de los anillos) los que motivaron la elección de Hensel. Ahora los representantes son los soluciones en el campo para . Llamar al campo, con una primitiva apropiada raíz de la unidad (sobre ). Los representantes son entonces y por . Dado que estos representantes forman un conjunto multiplicativo, pueden considerarse personajes. Unos treinta años después de las obras de Hensel, Teichmüller estudió estos personajes, que ahora llevan su nombre, lo que le llevó a caracterizar la estructura de todo el campo en términos del campo de residuos. Estos representantes de Teichmüller se pueden identificar con los elementos del campo finito de orden tomando residuos modulo en , y elementos de son llevados a sus representantes por el personaje de Teichmüller . Esta operación identifica el conjunto de enteros en con infinitas secuencias de elementos de .
Tomando esos representantes, las expresiones para la suma y la multiplicación se pueden escribir en forma cerrada. Ahora tenemos el siguiente problema (indicado para el caso más simple:): dadas dos secuencias infinitas de elementos de describir su suma y producto como -ádicos enteros explícitamente. Este problema fue resuelto por Witt usando vectores de Witt.
Boceto motivacional detallado
Derivamos el anillo de -enteros ádicos desde el campo finito utilizando una construcción que se generaliza naturalmente a la construcción vectorial de Witt.
El anillo de -los enteros ádicos pueden entenderse como el límite proyectivo de En concreto, consta de las secuencias con tal que por Es decir, cada elemento sucesivo de la secuencia es igual a los elementos anteriores módulo una potencia menor de p ; este es el límite inverso de las proyecciones
Los elementos de se puede expandir como series de potencias (formales) en
dónde generalmente se toman del intervalo de enteros Por supuesto, esta serie de potencias generalmente no convergerá en usando la métrica estándar en los reales, pero convergerá en con el -métrica ádica . Esbozaremos un método para definir operaciones de anillo para tal serie de potencias.
Dejando ser denotado por , se podría considerar la siguiente definición de adición:
y se podría hacer una definición similar de multiplicación. Sin embargo, esta no es una fórmula cerrada, ya que los nuevos coeficientes no están en el conjunto permitido
Representar elementos en F p como elementos en el anillo de los vectores de Witt W (F p )
Hay un mejor subconjunto de coeficientes de que produce fórmulas cerradas, los representantes de Teichmuller: cero junto con el raíces de la unidad. Pueden calcularse explícitamente (en términos de los representantes del coeficiente original) como raíces de a través de la elevación de Hensel , el-versión ádica del método de Newton . Por ejemplo, en para calcular el representante de uno comienza por encontrar la solución única de en con ; uno obtiene Repite esto en con las condiciones y da y así; el representante de Teichmüller resultante de, denotado , es la secuencia
La existencia de una elevación en cada escalón está garantizada por el máximo común divisor en cada
Este algoritmo muestra que para cada , hay exactamente un representante de Teichmuller con , que denotamos De hecho, esto define el carácter de Teichmüller satisfactorio si denotamos Tenga en cuenta que no es aditivo, ya que la suma no tiene por qué ser representativa. A pesar de esto, si en luego en
Representar elementos en Z p como elementos en el anillo de vectores de Witt W (F p )
Debido a esta correspondencia uno a uno dada por , uno puede expandir cada -entero ádico como serie de potencias en con coeficientes tomados de los representantes de Teichmüller. Se puede dar un algoritmo explícito, como sigue. Escriba al representante de Teichmüller como Entonces, si uno tiene alguna arbitraria -entero ádico de la forma uno toma la diferencia dejando un valor divisible por . Por eso,. Luego se repite el proceso, restandoy proceda de la misma manera. Esto produce una secuencia de congruencias
Así que eso
y implica:
por
Por tanto, tenemos una serie de potencias para cada residuo de x potencias módulo de p , pero con coeficientes en los representantes de Teichmüller en lugar de. Está claro que
desde
para todos como por lo que la diferencia tiende a 0 con respecto a la -métrica ádica. Los coeficientes resultantes normalmente diferirán de los modulo excepto el primero.
Propiedades adicionales de los elementos en el anillo de los vectores de Witt que motivan la definición general
Los coeficientes de Teichmuller tienen la propiedad adicional clave que que falta para los números en . Esto se puede utilizar para describir la adición, como sigue. Dado que el carácter de Teichmüller no es aditivo, no es cierto en . Pero aguantacomo implica la primera congruencia. En particular,
y por lo tanto
Dado que el coeficiente binomial es divisible por , esto da
Esto determina completamente por el ascensor. Además, el módulo de congruencia indica que el cálculo realmente se puede hacer en satisfaciendo el objetivo básico de definir una estructura aditiva simple.
Para este paso ya es muy engorroso. Escribir
Como para un solo El poder no es suficiente: hay que tomar
Sin emabargo, no es en general divisible por pero es divisible cuando en ese caso combinado con monomios similares en hará un múltiplo de .
En este paso, queda claro que uno realmente está trabajando con la adición del formulario
Esto motiva la definición de vectores de Witt.
Construcción de anillos Witt
Fijar un número primo p . Un vector de Witt [5] sobre un anillo conmutativo (relativo a un número primo ) es una secuencia: de elementos de . Definir los polinomios de Witt por
y en general
La se denominan componentes fantasma del vector Witt, y generalmente se denotan por Los componentes fantasma se pueden considerar como un sistema de coordenadas alternativo para el -módulo de secuencias.
Vectores de the ring of Witt (relativo a un primo ) se define mediante la suma y la multiplicación de los componentes fantasma. Es decir, hay una forma única de hacer que el conjunto de vectores de Witt sobre cualquier anillo conmutativo en un anillo tal que:
- la suma y el producto están dados por polinomios con coeficientes integrales que no dependen de , y
- proyección a cada componente fantasma es un homomorfismo de anillo de los vectores de Witt sobre , a.
En otras palabras,
- y están dados por polinomios con coeficientes integrales que no dependen de R , y
- y
Los primeros polinomios que dan la suma y el producto de los vectores de Witt pueden escribirse explícitamente. Por ejemplo,
Estos deben entenderse como atajos para las fórmulas reales. Si por ejemplo el anillo tiene característica , la división por en la primera fórmula anterior, la de que aparecería en el siguiente componente y así sucesivamente, no tiene sentido. Sin embargo, si el-se desarrolla el poder de la suma, los términos se cancelan con los anteriores y los restantes se simplifican mediante , sin división por permanece y la fórmula tiene sentido. La misma consideración se aplica a los componentes siguientes.
Ejemplos de suma y multiplicación
Como era de esperar, la unidad en el anillo de los vectores de Witt es el elemento
Agregar este elemento a sí mismo da una secuencia no trivial, por ejemplo en ,
desde
que no es el comportamiento esperado, ya que no es igual . Pero, cuando reducimos con el mapa, obtenemos . Nota de tenemos un elemento y un elemento luego
mostrar la multiplicación también se comporta de una manera muy no trivial.
Ejemplos de
- El anillo de Witt de cualquier anillo conmutativo R en el que p es invertible es simplemente isomorfo a(el producto de un número contable de copias de R ). De hecho, los polinomios de Witt siempre dan un homomorfismo del anillo de vectores de Witt a, y si p es invertible, este homomorfismo es un isomorfismo.
- El anillo de Witt del campo finito de orden p es el anillo de-enteros ádicos escritos en términos de los representantes de Teichmuller, como se demostró anteriormente.
- El anillo de Witt de un campo finito de orden p n es el anillo de enteros de la única extensión no ramificada de grado n del anillo de-números ádicos . Nota por la -th raíz de la unidad, por lo tanto .
Vectores de Universal Witt
Los polinomios de Witt para diferentes primos p son casos especiales de polinomios universales de Witt, que pueden usarse para formar un anillo de Witt universal (sin depender de la elección del primo p ). Defina los polinomios universales de Witt W n para n ≥ 1 por
y en general
De nuevo, se llama vector de componentes fantasma del vector de Witt, y generalmente se denota por .
Podemos usar estos polinomios para definir el anillo de vectores universales de Witt sobre cualquier anillo conmutativo R de la misma manera que antes (por lo que los polinomios universales de Witt son todos homomorfismos del anillo R ).
Funciones de generación
Witt también proporcionó otro enfoque utilizando funciones generadoras. [6]
Definición
Dejar ser un vector de Witt y definir
Para dejar denotar la colección de subconjuntos de cuyos elementos suman . Luego
Podemos obtener los componentes fantasma tomando la derivada logarítmica :
Suma
Ahora podemos ver Si . Así que eso
Si son los coeficientes respectivos en la serie de potencias . Luego
Desde es un polinomio en y lo mismo para , podemos demostrar por inducción que es un polinomio en
Producto
Si ponemos luego
Pero
- .
Ahora 3 tuplas con están en biyección con 3 tuplas con , vía (es el mínimo común múltiplo ), nuestra serie se convierte en
Así que eso
dónde son polinomios de Entonces, por inducción similar, suponga
luego se puede resolver como polinomios de
Esquemas de anillo
El mapa que lleva un anillo conmutativo R al anillo de vectores de Witt sobre R (para un primo fijo p ) es un funtor de anillos conmutativos a anillos conmutativos, y también es representable, por lo que se puede considerar como un esquema de anillo , llamado Esquema de Witt , terminadoEl esquema de Witt se puede identificar canónicamente con el espectro del anillo de funciones simétricas .
De manera similar, los anillos de los vectores de Witt truncados y los anillos de los vectores de Witt universales corresponden a esquemas de anillo, llamados esquemas de Witt truncados y esquema de Witt universal .
Además, el funtor que toma el anillo conmutativo al set está representado por el espacio afín , y la estructura del anillo en hace en un esquema de anillo denotado . De la construcción de vectores de Witt truncados, se deduce que su esquema de anillo asociado es el esquema con la estructura de anillo única tal que el morfismo dado por los polinomios de Witt es un morfismo de esquemas de anillo.
Grupos algebraicos unipotentes conmutativos
Sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0, cualquier grupo algebraico conectado abeliano unipotente es isomorfo a un producto de copias del grupo aditivo. El análogo de esto para los campos de característica p es falso: los esquemas de Witt truncados son contraejemplos. (Los convertimos en grupos algebraicos olvidándonos de la multiplicación y simplemente usando la estructura aditiva). Sin embargo, estos son esencialmente los únicos contraejemplos: sobre un campo algebraicamente cerrado de característica p , cualquier grupo algebraico conectado abeliano unipotente es isógeno a un producto de truncado Esquemas del grupo Witt.
Ver también
- p-derivación
- Grupo formal
- Exponencial de Artin-Hasse
- Anillo de collar
Referencias
- ↑ a b Fisher, Benji (1999). "Notas sobre los vectores de Witt: un enfoque motivado" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2019.
- ^ Artin, Emil y Schreier, Otto, Über eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper , Abh. Matemáticas. Sem. Hamburgo 3 (1924).
- ^ AA Albert, Campos cíclicos de grado p n sobre F de característica p , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 40 (1934).
- ^ Schmid, HL, Zyklische algebraische Funktionenkörper vom Grad p n über endlichen Konstantenkörper der Charakteristik p , Crelle 175 (1936).
- ^ Illusie, Luc (1979). "Complexe de Rham-Witt et cohomologie cristalline" . Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (en francés). 12 (4): 501–661. doi : 10.24033 / asens.1374 .
- ^ Lang, Serge (19 de septiembre de 2005). "Capítulo VI: Teoría de Galois". Álgebra (3ª ed.). Saltador. págs. 330 . ISBN 978-0-387-95385-4.
Introductorio
- Notas sobre los vectores de Witt: un enfoque motivado - Notas básicas que dan las ideas principales y la intuición. ¡Es mejor empezar aquí!
- La teoría de los vectores de Witt - Introducción elemental a la teoría.
- Complexe de Rham-Witt et cohomologie cristalline : tenga en cuenta que utiliza una convención diferente pero equivalente a la de este artículo. Además, los puntos principales de la introducción siguen siendo válidos.
Aplicaciones
- Mumford, David (1966-08-21), Conferencias sobre curvas en una superficie algebraica , Annals of Mathematics Studies, 59 , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6
- Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas, 67 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, MR 0554237, sección II.6
- Serre, Jean-Pierre (1988), Grupos y campos de clase algebraicos , Textos de posgrado en matemáticas, 117 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-1035-1 , ISBN 978-0-387-96648-9, MR 0918564
- Greenberg, Marvin J. (1969). Conferencias sobre formas en muchas variables . Nueva York y Amsterdam: Benjamin. ASIN B0006BX17M . Señor 0241358 .
Referencias
- Dolgachev, Igor V. (2001) [1994], "Witt vector" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Hazewinkel, Michiel (2009), "Vectores Witt. I.", Manual de álgebra. Vol. 6 , Amsterdam: Elsevier / North-Holland, págs. 319–472, arXiv : 0804.3888 , doi : 10.1016 / S1570-7954 (08) 00207-6 , ISBN 978-0-444-53257-2, MR 2553661
- Witt, Ernst (1936), "Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p n . Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p n " , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 1937 (176) : 126–140, doi : 10.1515 / crll.1937.176.126