sistema numérico factorial
En combinatoria , el sistema numérico factorial , también llamado factorádico , es un sistema numérico mixto de base adaptado a las permutaciones de numeración . También se le llama base factorial , aunque los factoriales no funcionan como base , sino como valor posicional de dígitos. Al convertir un número menor que n ! a la representación factorial, se obtiene una secuencia de n dígitos que se puede convertir en una permutación de n de forma directa, ya sea usándolos como código Lehmer o comotabla de inversión [1] representación; en el primer caso, el mapa resultante de números enteros a permutaciones de n los enumera en orden lexicográfico . Los sistemas radix mixtos generales fueron estudiados por Georg Cantor . [2] Knuth utiliza el término "sistema numérico factorial" , [3] mientras que el equivalente francés "numération factorielle" se utilizó por primera vez en 1888. [4] El término "factoradic", que es un acrónimo de base factorial y mixta , parece ser de una fecha más reciente. [5]
El sistema numérico factorial es un sistema numérico mixto de base : el dígito i -ésimo de la derecha tiene base i , lo que significa que el dígito debe ser estrictamente menor que i , y que (teniendo en cuenta las bases de los dígitos menos significativos) su valor a multiplicar por ( i − 1) ! (su valor posicional).
De aquí se deduce que el dígito más a la derecha siempre es 0, el segundo puede ser 0 o 1, el tercero 0, 1 o 2, y así sucesivamente (secuencia A124252 en la OEIS ). El sistema numérico factorial a veces se define con el 0! lugar omitido porque siempre es cero (secuencia A007623 en el OEIS ).
En este artículo, la representación de un número factorial se marcará con un subíndice "!", por ejemplo, 3:4:1:0:1:0 ! representa 3 5 4 4 1 3 0 2 1 1 0 0 , cuyo valor es
Las propiedades generales de los sistemas numéricos de base mixtos también se aplican al sistema numérico factorial. Por ejemplo, uno puede convertir un número en representación factorial produciendo dígitos de derecha a izquierda, dividiendo repetidamente el número por la base (1, 2, 3, ...), tomando el resto como dígitos y continuando con el cociente entero . , hasta que este cociente sea 0.
Por ejemplo, 463 10 se puede transformar en una representación factorial mediante estas divisiones sucesivas:
