En la teoría de la probabilidad , el momento factorial es una cantidad matemática definida como la expectativa o promedio del factorial descendente de una variable aleatoria . Los momentos factoriales son útiles para estudiar variables aleatorias no negativas valoradas en números enteros , [1] y surgen en el uso de funciones generadoras de probabilidad para derivar los momentos de variables aleatorias discretas.
Los momentos factoriales sirven como herramientas analíticas en el campo matemático de la combinatoria, que es el estudio de estructuras matemáticas discretas. [2]
Definición
Para un número natural r , el r -ésimo momento factorial de una distribución de probabilidad en los números reales o complejos, o, en otras palabras, una variable aleatoria X con esa distribución de probabilidad, es [3]
donde la E es la expectativa ( operador ) y
es el factorial descendente , que da lugar al nombre, aunque la notación ( x ) r varía según el campo matemático. [a] Por supuesto, la definición requiere que la expectativa sea significativa, que es el caso si ( X ) r ≥ 0 o E [| ( X ) r |] <∞ .
Si X es el número de éxitos en n ensayos y p r es la probabilidad de que cualquier r de los n ensayos sean todos exitosos, entonces [5]
Ejemplos de
distribución de veneno
Si una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ , entonces los momentos factoriales de X son
que son simples en forma en comparación con sus momentos , que involucran números de Stirling del segundo tipo .
Distribución binomial
Si una variable aleatoria X tiene una distribución binomial con probabilidad de éxito p ∈ [0,1] y número de ensayos n , entonces los momentos factoriales de X son [6]
donde por convención, y se entiende que es cero si r > n .
Distribución hipergeométrica
Si una variable aleatoria X tiene una distribución hipergeométrica con un tamaño de población N , el número de éxitos establece K ∈ {0, ..., N } en la población y dibuja n ∈ {0, ..., N }, entonces el factorial los momentos de X son [6]
Distribución beta-binomial
Si una variable aleatoria X tiene una distribución beta-binomial con parámetros α > 0 , β > 0 y número de ensayos n , entonces los momentos factoriales de X son
Cálculo de momentos
El r- ésimo momento bruto de una variable aleatoria X se puede expresar en términos de sus momentos factoriales mediante la fórmula
donde las llaves denotan números de Stirling del segundo tipo .
Ver también
Notas
- ^ El símbolo de Pochhammer ( x ) r se usa especialmente en la teoría de funciones especiales , para denotar el factorial descendente x ( x - 1) ( x - 2) ... ( x - r + 1) ;. [4] mientras que la notación actual se usa con más frecuencia en combinatoria .
Referencias
- ^ DJ Daley y D. Vere-Jones. Introducción a la teoría de procesos puntuales. Vol. Yo . Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York). Springer, Nueva York, segunda edición, 2003
- ^ Riordan, John (1958). Introducción al análisis combinatorio . Dover.
- ^ Riordan, John (1958). Introducción al análisis combinatorio . Dover. pag. 30.
- ^ Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST . Consultado el 9 de noviembre de 2013 .
- ^ PVKrishna Iyer. "Un teorema sobre los momentos factoriales y sus aplicaciones". Annals of Mathematical Statisics Vol. 29 (1958). Páginas 254-261.
- ^ a b Potts, RB (1953). "Nota sobre los momentos factoriales de distribuciones estándar" . Revista australiana de física . CSIRO. 6 (4): 498–499. doi : 10.1071 / ph530498 .