En probabilidad y estadísticas , una medida momento factorial es un matemático cantidad, función o, más precisamente, medida que se define en relación a los objetos matemáticos conocidos como procesos puntuales , que son tipos de procesos estocásticos utilizados a menudo como modelos matemáticos de los fenómenos físicos representables como puntos colocados al azar en el tiempo , el espacio o ambos. Las medidas de momento generalizan la idea de momentos factoriales , que son útiles para estudiar Variables aleatorias no negativas valoradas en números enteros . [1]
La primera medida de momento factorial de un proceso puntual coincide con su primera medida de momento o medida de intensidad , [2] que da el número esperado o promedio de puntos del proceso puntual ubicados en alguna región del espacio. En general, si el número de puntos en alguna región se considera como una variable aleatoria, entonces la medida factorial de momento de esta región es el momento factorial de esta variable aleatoria. [3] Las medidas de momento factorial caracterizan completamente una amplia clase de procesos puntuales, lo que significa que pueden usarse para identificar de forma única un proceso puntual.
Si una medida de momento factorial es absolutamente continua , entonces con respecto a la medida de Lebesgue se dice que tiene una densidad (que es una forma generalizada de una derivada ), y esta densidad se conoce con varios nombres como densidad de momento factorial y densidad del producto , así como densidad de coincidencia , [1] intensidad conjunta [4] , función de correlación o espectro de frecuencia multivariante [5] Las densidades de momento factorial primera y segunda de un proceso puntual se utilizan en la definición de la función de correlación de pares , que proporciona una forma de cuantificar estadísticamente la fuerza de la interacción o correlación entre los puntos de un proceso puntual. [6]
Medidas momento factoriales sirven como herramientas útiles en el estudio de los procesos de punto [1] [6] [7] , así como los campos relacionados de geometría estocástica [3] y estadística espacial , [6] [8] que se aplican en varios científica y disciplinas de ingeniería como biología , geología , física y telecomunicaciones . [1] [3] [9]
Notación de proceso de puntos
Los procesos puntuales son objetos matemáticos que se definen en algún espacio matemático subyacente . Dado que estos procesos se utilizan a menudo para representar colecciones de puntos dispersos aleatoriamente en el espacio, el tiempo o ambos, el espacio subyacente suele ser el espacio euclidiano d- dimensional denotado aquí por R d , pero pueden definirse en espacios matemáticos más abstractos . [7]
Los procesos puntuales tienen varias interpretaciones, que se reflejan en los diversos tipos de notación de procesos puntuales . [3] [9] Por ejemplo, si un puntopertenece o es miembro de un proceso puntual, denotado por N , entonces esto se puede escribir como: [3]
y representa el proceso puntual que se interpreta como un conjunto aleatorio . Alternativamente, el número de puntos de N ubicados en algún conjunto B de Borel a menudo se escribe como: [2] [3] [8]
que refleja una interpretación de medida aleatoria para procesos puntuales. Estas dos notaciones se utilizan a menudo en paralelo o indistintamente. [3] [8] [2]
Definiciones
n- ésima potencia factorial de un proceso puntual
Para algún entero positivo , la -ésima potencia factorial de un proceso puntual en se define como: [2]
dónde es una colección de conjuntos de Borel no necesariamente disjuntos en, que forman un -pliegue el producto cartesiano de conjuntos denotados por:
El símbolo denota una función indicadora tal quees una medida de Dirac para el conjunto. La suma de la expresión anterior se realiza sobre todos- tuplas de puntos distintos, incluidas las permutaciones , que pueden contrastarse con la definición de la n -ésima potencia de un proceso puntual . El símbolodenota la multiplicación , mientras que la existencia de diversos notación proceso de punto medio que la n -ésima potencia factorial de un proceso de punto se define a veces usando otra notación. [2]
n- ésima medida de momento factorial
La n- ésima medida de momento factorial o la medida de momento factorial de n- ésimo orden se define como:
donde el E denota la expectativa ( operador ) del proceso de punto N . En otras palabras, la n -ésima medida del momento factorial es la expectativa de la n- ésima potencia factorial de algún proceso puntual.
El n º factorial medida momento de un proceso de punto N se define de forma equivalente [3] por:
dónde es cualquier función medible no negativa en, y la suma anterior se realiza sobre todos tuplas de puntos distintos, incluidas las permutaciones. En consecuencia, la medida de momento factorial se define de manera que no haya puntos que se repitan en el conjunto de productos, a diferencia de la medida de momento. [7]
Primera medida de momento factorial
La primera medida de momento factorial coincide con la medida del primer momento : [2]
dónde se conoce, entre otros términos, como la medida de intensidad [3] o medida media , [10] y se interpreta como el número esperado de puntos de encontrado o ubicado en el conjunto
Segunda medida de momento factorial
La segunda medida de momento factorial para dos conjuntos de Borel y es:
Explicación del nombre
Para algunos juegos de Borel , el homónimo de esta medida se revela cuando el La medida del momento factorial se reduce a:
Cuál es el -ésimo momento factorial de la variable aleatoria. [3]
Densidad de momento factorial
Si una medida de momento factorial es absolutamente continua , entonces tiene una densidad (o más precisamente, una derivada o densidad de Radón-Nikodym ) con respecto a la medida de Lebesgue y esta densidad se conoce como densidad de momento factorial o densidad del producto , intensidad conjunta , función de correlación , o espectro de frecuencia multivariante . Denotando el-ésima densidad de momento factorial por , se define con respecto a la ecuación: [3]
Además, esto significa la siguiente expresión
dónde es cualquier función medible acotada no negativa definida en.
Función de correlación de pares
En estadística espacial y geometría estocástica, para medir la relación de correlación estadística entre puntos de un proceso puntual, la función de correlación de pares de un proceso puntualse define como: [3] [6]
donde los puntos . En general, mientras que corresponde a ninguna correlación (entre puntos) en el sentido estadístico típico. [6]
Ejemplos de
Proceso de punto de Poisson
Para un proceso general de puntos de Poisson con medida de intensidad la -ésima medida de momento factorial viene dada por la expresión: [3]
dónde es la medida de intensidad o medida del primer momento de , que para algunos Borel fijó es dado por:
Para un proceso homogéneo de puntos de Poisson el-ésima medida del momento factorial es simplemente: [2]
dónde es la longitud, el área o el volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de. Además, el-ésima densidad de momento factorial es: [3]
La función de correlación de pares del proceso homogéneo de puntos de Poisson es simplemente
lo que refleja la falta de interacción entre los puntos de este proceso de puntos.
Expansión del momento factorial
Las expectativas de los funcionales generales de procesos puntuales simples, siempre que se cumplan ciertas condiciones matemáticas, tienen expansiones (posiblemente infinitas) o series que consisten en las correspondientes medidas de momento factorial. [11] [12] En comparación con la serie de Taylor , que consiste en una serie de derivadas de alguna función, la n- ésima medida del momento factorial juega el rol de la n- ésima derivada de la serie de Taylor. En otras palabras, dada una f funcional general de algún proceso puntual simple, entonces este teorema similar a Taylor para procesos puntuales que no son de Poisson significa que existe una expansión para la expectativa de la función E , siempre que se cumpla alguna condición matemática, lo que asegura la convergencia de la expansión.
Ver también
- Momento factorial
- Momento
- Medida del momento
Referencias
- ^ a b c d D. J. Daley y D. Vere-Jones. Introducción a la teoría de procesos puntuales. Vol. Yo . Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York). Springer, Nueva York, segunda edición, 2003.
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- ^ a b c D. J. Daley y D. Vere-Jones. Introducción a la teoría de procesos puntuales. Vol. {II }. Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York). Springer, Nueva York, segunda edición, 2008
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- ↑ a b F. Baccelli y B. Błaszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, Volumen II - Aplicaciones , volumen 4, No 1–2 de Fundamentos y tendencias en redes . Editores NoW, 2009.
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- ^ B. Blaszczyszyn. Expansión de momento factorial para sistemas estocásticos. Stoch. Proc. Apl. 56: 321-335, 1995.
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