En teoría de probabilidad y estadística , la función generadora de momento factorial de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de valor real X se define como
para todos los números complejos t para los que existe este valor esperado . Este es el caso al menos para todo t en el círculo unitario , ver función característica . Si X es una variable aleatoria discreta que toma valores solo en el conjunto {0,1, ...} de enteros no negativos , entoncestambién se llama función generadora de probabilidad de X yestá bien definido al menos para todo t en el disco de la unidad cerrada .
La función generadora de momentos factoriales genera los momentos factoriales de la distribución de probabilidad . Previstoexiste en una vecindad de t = 1, el n- ésimo momento factorial viene dado por [1]
donde el símbolo de Pochhammer ( x ) n es el factorial descendente
(Muchos matemáticos, especialmente en el campo de las funciones especiales , usan la misma notación para representar el factorial ascendente ).
Ejemplo
Suponga que X tiene una distribución de Poisson con valor esperado λ, entonces su función generadora de momento factorial es
(use la definición de la función exponencial ) y así tenemos