Módulo plano

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En álgebra , un módulo plano sobre un anillo R es un módulo R - M tal que tomar el producto tensorial sobre R con M conserva secuencias exactas . Un módulo es fielmente plano si tomar el producto tensorial con una secuencia produce una secuencia exacta si y solo si la secuencia original es exacta.

La planitud fue introducida por Jean-Pierre Serre  ( 1956 ) en su artículo Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique . Véase también morfismo plano .

Un módulo M sobre un anillo R es plano si se cumple la siguiente condición: para cada mapa lineal inyectivo de módulos R , el mapa${\ Displaystyle \ varphi: K \ a L}$

también es inyectiva, donde es el mapa inducido por${\ Displaystyle \ varphi \ otimes _ {R} M}$${\ Displaystyle k \ otimes m \ mapsto \ varphi (k) \ otimes m.}$

Por esta definición, es suficiente para restringir las inyecciones a las inclusiones de ideales finitamente generados en R .${\ Displaystyle \ varphi}$

De manera equivalente, un módulo R M es plano si el producto tensorial con M es un funtor exacto ; es decir, si, para cada breve secuencia exacta de módulos R , la secuencia también es exacta. (Esta es una definición equivalente ya que el producto tensorial es un funtor exacto derecho ).${\ displaystyle 0 \ rightarrow K \ rightarrow L \ rightarrow J \ rightarrow 0,}$${\ displaystyle 0 \ rightarrow K \ otimes _ {R} M \ rightarrow L \ otimes _ {R} M \ rightarrow J \ otimes _ {R} M \ rightarrow 0}$

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