En matemáticas, las coordenadas de Fenchel-Nielsen son coordenadas para el espacio de Teichmüller introducidas por Werner Fenchel y Jakob Nielsen .
Definición
Suponga que S es una superficie de Riemann compacta de género g > 1. Las coordenadas de Fenchel-Nielsen dependen de una elección de 6 g - 6 curvas en S , como sigue. La superficie S de Riemann se puede dividir en 2 g - 2 pares de pantalones cortando a lo largo de 3 g - 3 curvas cerradas simples disjuntas. Para cada una de estas 3 g - 3 curvas γ, elija un arco que lo cruce y termine en otros componentes de límite de los pares de pantalones cuyo límite contenga γ.
Las coordenadas de Fenchel-Nielsen para un punto del espacio de Teichmüller de S consisten en 3 g - 3 números reales positivos llamados longitudes y 3 g - 3 números reales llamados giros . Un punto del espacio Teichmüller está representado por una métrica hiperbólica en S .
Las longitudes de las coordenadas Fenchel-Nielsen son las longitudes de las geodésicas homotópicas a las 3 g - 3 curvas cerradas simples disjuntas.
Los giros de las coordenadas de Fenchel-Nielsen se dan de la siguiente manera. Hay un giro para cada una de las 3 g - 3 curvas que cruzan una de las 3 g - 3 curvas cerradas simples disjuntas γ. Cada uno de estos es homotópico a una curva que consta de 3 segmentos geodésicos, el medio de los cuales sigue la geodésica de γ. El giro es la distancia (positiva o negativa) que recorre el segmento medio a lo largo de la geodésica de γ.
Referencias
- Fenchel, Werner ; Nielsen, Jakob (2003), Schmidt, Asmus L. (ed.), Grupos discontinuos de isometrías en el plano hiperbólico , de Gruyter Studies in Mathematics, 29 , Berlín: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-017526-4, Señor 1958350
- Hubbard, John Hamal (2006), teoría de Teichmüller y aplicaciones a la geometría, topología y dinámica. Vol. 1 , Matrix Editions, Ithaca, NY, ISBN 978-0-9715766-2-9, MR 2245223