En matemáticas , un pantalón es una superficie que es homeomórfica a la esfera de tres agujeros . El nombre proviene de considerar uno de los discos extraídos como la cintura y los otros dos como los puños de un pantalón .
Los pares de pantalones se utilizan como bloques de construcción para superficies compactas en varias teorías. Dos aplicaciones importantes son la geometría hiperbólica , donde las descomposiciones de superficies cerradas en pares de pantalones se utilizan para construir las coordenadas de Fenchel-Nielsen en el espacio de Teichmüller , y en la teoría de campos cuánticos topológicos, donde son los cobordismos no triviales más simples entre variedades unidimensionales. .
Descomposición de pantalones y pantalones
Pantalones como superficies topológicas
Un pantalón es cualquier superficie que sea homeomorfa a una esfera con tres agujeros, que formalmente es el resultado de sacar de la esfera tres discos abiertos con cierres separados por pares. Así, un par de pantalones es una superficie compacta de género cero con tres componentes de contorno .
La característica de Euler de un pantalón es igual a -1. Entre todas las superficies de característica de Euler negativa, tiene la máxima; [ aclarar ] la única otra superficie con esta propiedad es el toro perforado (un toro menos un disco abierto).
Descomposiciones de pantalones
La importancia de los pantalones en el estudio de superficies se deriva de la siguiente propiedad: definir la complejidad de una superficie compacta conectadade género con componentes de contorno para ser , y para una superficie no conectada, tome la suma de todos los componentes. Entonces, las únicas superficies con característica de Euler negativa y complejidad cero son las uniones disjuntas de pares de pantalones. Además, para cualquier superficiey cualquier curva cerrada simple en que no es homotópico a un componente límite, la superficie compacta obtenida cortando a lo largo de tiene una complejidad estrictamente menor que . En este sentido, los pares de pantalones son las únicas superficies "irreductibles" entre todas las superficies de característica de Euler negativa.
Por un argumento de recursividad, esto implica que para cualquier superficie existe un sistema de curvas cerradas simples que cortan la superficie en pares de pantalones. Esto se llama descomposición de los pantalones para la superficie, y las curvas se llaman puños de la descomposición. Esta descomposición no es única, pero al cuantificar el argumento se ve que todas las descomposiciones en pantalones de una superficie dada tienen el mismo número de curvas, que es exactamente la complejidad. [1] Para superficies conectadas, la descomposición de un pantalón tiene exactamente pantalones.
Una colección de curvas cerradas simples en una superficie es una descomposición de pantalones si y solo si están disjuntas, no hay dos de ellas homotópicas y ninguna es homotópica a un componente de frontera, y la colección es máxima para estas propiedades.
El complejo de pantalones
Una superficie dada tiene infinitas descomposiciones de pantalones distintas (entendemos que dos descomposiciones son distintas cuando no son homotópicas). Una forma de intentar comprender las relaciones entre todas estas descomposiciones es el complejo de pantalones asociado a la superficie . Este es un gráfico con vértice que establece las descomposiciones de pantalones de, y dos vértices se unen si están relacionados por un movimiento elemental, que es una de las dos operaciones siguientes:
- tomar una curva en la descomposición en un toro de un agujero y reemplazarlo por una curva en el toro que lo cruza solo una vez,
- tomar una curva en la descomposición en una esfera de cuatro agujeros y reemplazarla por una curva en la esfera que la interseca solo dos veces.
El complejo de pantalones está conectado [2] (lo que significa que cualquier descomposición de dos pantalones está relacionada por una secuencia de movimientos elementales) y tiene un diámetro infinito (lo que significa que no hay límite superior en el número de movimientos necesarios para pasar de una descomposición a la otra) . En el caso particular cuando la superficie tiene complejidad 1, el complejo de pantalones es isomorfo al gráfico de Farey .
La acción del grupo de la clase de mapeo sobre el complejo de pantalones es de interés para el estudio de este grupo. Por ejemplo, Allen Hatcher y William Thurston lo han utilizado para dar una prueba del hecho de que se presenta de forma finita .
Pantalones en geometría hiperbólica
Espacio de módulos de pantalones hiperbólicos
Las interesantes estructuras hiperbólicas de un pantalón se clasifican fácilmente. [3]
- Para todos hay una superficie hiperbólica que es homeomorfa a un par de pantalones y cuyos componentes de contorno son geodésicas cerradas simples de longitudes iguales a . Tal superficie está determinada únicamente por la hasta la isometría .
Al tomar la longitud de un puño para que sea igual a cero, se obtiene una métrica completa del par de pantalones menos el puño, que se reemplaza por una cúspide . Esta estructura es de volumen finito.
Pantalones y hexágonos
La prueba geométrica de la clasificación del párrafo anterior es importante para comprender la estructura de los pantalones hiperbólicos. Se procede de la siguiente manera: Dado un pantalón hiperbólico con límite totalmente geodésico, existen tres arcos geodésicos únicos que unen los puños por parejas y que son perpendiculares a ellos en sus extremos. Estos arcos se llaman costuras de los pantalones.
Al cortar los pantalones a lo largo de las costuras, se obtienen dos hexágonos hiperbólicos en ángulo recto que tienen tres lados alternos de longitudes iguales. El siguiente lema se puede probar con geometría hiperbólica elemental. [4]
- Si dos hexágonos hiperbólicos en ángulo recto tienen cada uno tres lados alternos de longitudes coincidentes, entonces son isométricos entre sí.
Entonces vemos que el par de pantalones es el doble de un hexágono en ángulo recto a lo largo de lados alternos. Dado que la clase de isometría del hexágono también está determinada únicamente por las longitudes de los tres lados alternos restantes, la clasificación de los pantalones se deriva de la de los hexágonos.
Cuando la longitud de un manguito es cero, se reemplaza el lado correspondiente en el hexágono en ángulo recto por un vértice ideal.
Coordenadas de Fenchel-Nielsen
Un punto en el espacio de Teichmüller de una superficie está representado por un par dónde es una superficie hiperbólica completa y un difeomorfismo.
Si tiene un pantalón de descomposición por curvas entonces se pueden parametrizar los pares de Teichmüller mediante las coordenadas de Fenchel-Nielsen que se definen de la siguiente manera. Las longitudes de los puños son simplemente las longitudes de las geodésicas cerradas homotópicas a la .
Los parámetros de giro son más difíciles de definir. Corresponden a cuánto se gira al pegar dos pares de pantalones a lo largo: esto los define modulo . Se puede refinar la definición (utilizando la continuación analítica [5] o técnicas geométricas) para obtener parámetros de torsión valorados en (aproximadamente, el punto es que cuando uno da un giro completo, cambia el punto en el espacio de Teichmüller al precomponer con un giro de Dehn en torno).
El complejo de pantalones y la métrica de Weil-Petersson
Se puede definir un mapa desde el complejo de pantalones hasta el espacio de Teichmüller, que lleva la descomposición de los pantalones a un punto elegido arbitrariamente en la región donde la parte del puño de las coordenadas de Fenchel-Nielsen está limitada por una constante lo suficientemente grande. Es una cuasi-isometría cuando el espacio de Teichmüller está dotado de la métrica de Weil-Petersson , que ha demostrado su utilidad en el estudio de esta métrica. [6]
Pares de pantalones y grupos Schottky
Estas estructuras corresponden a grupos de Schottky en dos generadores (más precisamente, si el cociente del plano hiperbólico por un grupo de Schottky en dos generadores es homeomórfico al interior de un par de pantalones, entonces su núcleo convexo es un par de pantalones hiperbólico como se describe arriba , y todos se obtienen como tales).
Cobordismos bidimensionales
Un cobordismo entre dos variedades cerradas n- dimensionales es una variedad compacta ( n +1) -dimensional cuyo límite es la unión disjunta de las dos variedades. La categoría de cobordismos de dimensión n +1 es la categoría con objetos, las variedades cerradas de dimensión n , y los morfismos, los cobordismos entre ellos (nótese que la definición de un cobordismo incluye la identificación de la frontera con las variedades). Tenga en cuenta que uno de los colectores puede estar vacío; en particular, una variedad cerrada de dimensión n +1 se considera un endomorfismo del conjunto vacío . También se pueden componer dos cobordismos cuando el final del primero es igual al inicio del segundo. Una teoría de campo cuántica topológica n-dimensional (TQFT) es un funtor monoidal de la categoría de n -cobordismos a la categoría de espacio vectorial complejo (donde la multiplicación viene dada por el producto tensorial).
En particular, los cobordismos entre variedades unidimensionales (que son uniones de círculos) son superficies compactas cuyo límite se ha separado en dos uniones de círculos disjuntos. Los TQFT bidimensionales corresponden a las álgebras de Frobenius , donde el círculo (la única variedad 1 cerrada conectada) se asigna al espacio vectorial subyacente del álgebra, mientras que el par de pantalones da un producto o coproducto, dependiendo de cómo se agrupen los componentes de los límites. - que es conmutativo o coconmutativo. Además, el mapa asociado con un disco da un recuento (traza) o una unidad (escalares), dependiendo de la agrupación de límites, que completa la correspondencia.
Notas
- ^ Ratcliffe 2006 , Teorema 9.7.1.
- ^ Hatcher y Thurston 1980 .
- ^ Ratcliffe 2006 , Teorema 9.7.3.
- ^ Ratcliffe , 2006 , Teorema 3.5.14.
- ^ Imayoshi y Taniguchi 1992 , p. 63.
- ^ Brock, Jeff (2002). "Descomposiciones de pantalones y la métrica de Weil-Petersson". En Earle, Clifford J .; Harvey, William J .; Recillas-Pishmish, Sevín (eds.). Colectores complejos y geometría hiperbólica . Matemáticas contemporáneas. 311 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 27–40. doi : 10.1090 / conm / 311/05445 . ISBN 978-0-8218-7901-6.
Referencias
- Hatcher, Allen; Thurston, William (1980). "Una presentación para el grupo de la clase de cartografía de una superficie orientable cerrada" . Topología . 19 (3): 221-237. doi : 10.1016 / 0040-9383 (80) 90009-9 .
- Imayoshi, Yôichi; Taniguchi, Masahiko (1992). Una introducción a los espacios de Teichmüller . Saltador. págs. xiv + 279. ISBN 4-431-70088-9.
- Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas, segunda edición . Saltador. págs. xii + 779. ISBN 978-0387-33197-3.