En matemáticas , el espacio Teichmüller de una superficie topológica (o diferencial) (real) , es un espacio que parametriza estructuras complejas enhasta la acción de homeomorfismos que son isotópica a la homeomorfismo identidad . Los espacios de Teichmüller llevan el nombre de Oswald Teichmüller .
Cada punto en un espacio de Teichmüller puede considerarse como una clase de isomorfismo de superficies de Riemann "marcadas" , donde una "marca" es una clase de isotopía de homeomorfismos dea sí mismo. Puede ser visto como un espacio de módulos para marcada estructura hiperbólica en la superficie, y esto lo dota de una topología natural por lo que es homeomorfo a una bola de dimensión. por una superficie de género . De esta manera, el espacio de Teichmüller puede verse como el orbital de cobertura universal del espacio de módulos de Riemann .
El espacio de Teichmüller tiene una estructura múltiple canónica compleja y una gran cantidad de métricas naturales . El estudio de las características geométricas de estas diversas estructuras es un cuerpo de investigación activo.
Historia
Los espacios de módulos para superficies de Riemann y grupos fucsianos relacionados se han estudiado desde el trabajo de Bernhard Riemann (1826-1866), quien sabía que Se necesitaban parámetros para describir las variaciones de estructuras complejas en una superficie de género. . El estudio inicial del espacio de Teichmüller, a finales del siglo XIX y principios del XX, fue geométrico y se basó en la interpretación de las superficies de Riemann como superficies hiperbólicas. Entre los principales colaboradores se encontraban Felix Klein , Henri Poincaré , Paul Koebe , Jakob Nielsen , Robert Fricke y Werner Fenchel .
La principal contribución de Teichmüller al estudio de los módulos fue la introducción de mapeos cuasiconformales al tema. Nos permiten dar mucha más profundidad al estudio de los espacios de módulos dotándolos de características adicionales que no estaban presentes en los trabajos anteriores, más elementales. Después de la Segunda Guerra Mundial, el tema se desarrolló aún más en esta línea analítica, en particular por Lars Ahlfors y Lipman Bers . La teoría sigue activa, con numerosos estudios de la compleja estructura del espacio de Teichmüller (introducido por Bers).
La vena geométrica en el estudio del espacio de Teichmüller revivió siguiendo el trabajo de William Thurston a fines de la década de 1970, quien introdujo una compactación geométrica que utilizó en su estudio del grupo de clases de mapeo de una superficie. Otros objetos más combinatorios asociados a este grupo (en particular el complejo de curvas ) también se han relacionado con el espacio de Teichmüller, y este es un tema de investigación muy activo en la teoría de grupos geométricos .
Definiciones
Espacio de Teichmüller a partir de estructuras complejas
Dejar ser una superficie lisa orientable (una variedad diferenciable de dimensión 2). De manera informal el espacio Teichmüller de es el espacio de las estructuras superficiales de Riemann enhasta la isotopía .
Formalmente se puede definir de la siguiente manera. Dos estructuras complejas en se dice que son equivalentes si hay un difeomorfismo tal que:
- Es holomórfico (el diferencial es lineal complejo en cada punto, para las estructuras en la fuente y en el objetivo);
- es isotópico a la identidad de (hay un mapa continuo tal que .
Luego es el espacio de clases de equivalencia de estructuras complejas en para esta relación.
Otra definición equivalente es la siguiente: es el espacio de pares dónde es una superficie de Riemann y un difeomorfismo y dos pares se consideran equivalentes si es isotópico a un difeomorfismo holomórfico. Este par se denomina superficie de Riemann marcada ; la marca es el difeomeorfismo; otra definición de marcas es por sistemas de curvas. [1]
Hay dos ejemplos simples que se calculan inmediatamente a partir del teorema de Uniformización : hay una estructura compleja única en la esfera (ver esfera de Riemann ) y hay dos en(el plano complejo y el disco unitario) y en cada caso el grupo de difeomorfismos positivos es contráctil . Así, el espacio de Teichmüller de es un solo punto y el de contiene exactamente dos puntos.
Un ejemplo un poco más complicado es el anillo abierto , para el cual el espacio de Teichmüller es el intervalo (la compleja estructura asociada a es la superficie de Riemann ).
El espacio de Teichmüller del toro y las métricas planas
El siguiente ejemplo es el toro. En este caso, cualquier estructura compleja se puede realizar mediante una superficie de Riemann de la forma (una curva elíptica compleja ) para un número complejo dónde
es el semiplano superior complejo. Entonces tenemos una biyección: [2]
y así el espacio Teichmüller de es
Si identificamos con el plano euclidiano , cada punto en el espacio de Teichmüller también puede verse como una estructura plana marcada en Así, el espacio de Teichmüller está en biyección con el conjunto de pares dónde es una superficie plana y es un difeomorfismo hasta la isotopía en .
Superficies de tipo finito
Estas son las superficies para las que se estudia con mayor frecuencia el espacio de Teichmüller, que incluyen superficies cerradas. Una superficie es de tipo finito si es difeomórfica a una superficie compacta menos un conjunto finito. Sies una superficie cerrada del género luego la superficie obtenida quitando puntos de generalmente se denota y su espacio Teichmüller por
Espacios de Teichmüller y métricas hiperbólicas
Todas las superficies orientables de tipo finito distintas de las anteriores admiten métricas riemannianas completas de curvatura constante.. Para una superficie dada de tipo finito, existe una biyección entre tales métricas y estructuras complejas como se sigue del teorema de uniformación . Así que si el espacio Teichmüller puede realizarse como el conjunto de superficies hiperbólicas marcadas del género con cúspides , que es el conjunto de pares dónde es una superficie hiperbólica y es un difeomorfismo, módulo la relación de equivalencia donde y se identifican si es isotópico a una isometría.
La topología en el espacio de Teichmüller
En todos los casos calculados anteriormente hay una topología obvia en el espacio de Teichmüller. En el caso general hay muchas formas naturales de topologizar, quizás el más simple sea a través de métricas hiperbólicas y funciones de longitud.
Si es una curva cerrada en y una marcada superficie hiperbólica luego una es homotópico a una geodésica cerrada única en (hasta parametrización). El valor ende la función de longitud asociada a (la clase de homotopía de) es entonces:
Dejar ser el conjunto de curvas cerradas simples en. Entonces el mapa
es una incrustación. El espaciotiene la topología del producto yestá dotado de la topología inducida . Con esta topología es homeomorfo a
De hecho, se puede obtener una incrustación con curvas, [3] e incluso. [4] En ambos casos, se puede usar la incrustación para dar una prueba geométrica del homeomorfismo anterior.
Más ejemplos de pequeños espacios Teichmüller
Existe una métrica hiperbólica completa única de volumen finito en la esfera de tres agujeros [5] y, por lo tanto, el espacio de Teichmüller de métricas completas de volumen finito de curvatura constante es un punto (esto también se deriva de la fórmula de dimensión del párrafo anterior).
Los espacios de Teichmüller y se realizan naturalmente como el semiplano superior, como se puede ver utilizando las coordenadas de Fenchel-Nielsen.
Espacio de Teichmüller y estructuras conformadas
En lugar de estructuras complejas de métricas hiperbólicas, se puede definir el espacio de Teichmüller utilizando estructuras conformes . De hecho, las estructuras conformes son lo mismo que las estructuras complejas en dos dimensiones (reales). [6] Además, el Teorema de Uniformización también implica que en cada clase conforme de métricas de Riemann en una superficie hay una métrica única de curvatura constante.
Los espacios de Teichmüller como espacios de representación
Sin embargo, otra interpretación del espacio de Teichmüller es como un espacio de representación para grupos de superficies. Si es hiperbólico, de tipo finito y es el grupo fundamental de entonces el espacio de Teichmüller está en biyección natural con:
- El conjunto de representaciones inyectivas con imagen discreta, hasta la conjugación por un elemento de , Si es compacto;
- En general, el conjunto de tales representaciones, con la condición añadida de que esos elementos de que están representados por curvas libremente homotópicas a una punción se envían a elementos parabólicos de, de nuevo hasta la conjugación por un elemento de .
El mapa envía una estructura hiperbólica marcada a la composicion dónde es la monodromía de la estructura hiperbólica y es el isomorfismo inducido por .
Tenga en cuenta que esto se da cuenta como un subconjunto cerrado de lo que lo dota de una topología. Esto se puede usar para ver el homeomorfismo.directamente. [7]
Esta interpretación del espacio de Teichmüller está generalizada por la teoría superior de Teichmüller , donde el grupose reemplaza por un grupo de Lie arbitrario semisimple .
Un comentario sobre las categorías
Todas las definiciones anteriores se pueden hacer en la categoría topológica en lugar de la categoría de variedades diferenciables, y esto no cambia los objetos.
Espacios de Teichmüller de dimensión infinita
Las superficies que no son de tipo finito también admiten estructuras hiperbólicas, que pueden ser parametrizadas por espacios de dimensión infinita (homeomorfas a ). Otro ejemplo de espacio de dimensión infinita relacionado con la teoría de Teichmüller es el espacio de Teichmüller de una laminación por superficies. [8] [9]
Acción del grupo de clases de mapeo y relación con el espacio de módulos
El mapa del espacio de módulos
Hay un mapa desde el espacio de Teichmüller hasta el espacio de módulos de superficies de Riemann difeomórficas a, definido por . Es un mapa de cobertura, y desdeestá simplemente conectado es la cubierta universal orbifold para el espacio de módulos.
Acción del grupo de clases de mapeo
El grupo de clases de mapeo de es el grupo lateral del grupo difeomorfismo depor el subgrupo normal de aquellos que son isotópicos a la identidad (se puede hacer la misma definición con homeomorfismos en lugar de difeomorfismos y esto no cambia el grupo resultante). El grupo de difeomorfismos actúa de forma natural en el espacio de Teichmüller al
Si es una clase de mapeo y dos difeomorfismos que lo representan entonces son isotópicos. Así, las clases de y son los mismos en el espacio de Teichmüller, y la acción anterior se factoriza a través del grupo de clases de mapeo.
La acción del grupo de clases de mapeo en el espacio de Teichmüller es propiamente discontinuo , y el cociente es el espacio de módulos.
Puntos fijos
El problema de realización de Nielsen pregunta si algún subgrupo finito del grupo de clases de mapeo tiene un punto fijo global (un punto fijado por todos los elementos del grupo) en el espacio de Teichmüller. En términos más clásicos, la pregunta es: ¿puede cada subgrupo finito de realizarse como un grupo de isometrías de alguna métrica hiperbólica completa en (o equivalentemente como un grupo de difeomorfismos holomórficos de alguna estructura compleja). Esto fue resuelto por Steven Kerckhoff . [10]
Coordenadas
Coordenadas de Fenchel-Nielsen
Las coordenadas Fenchel-Nielsen (llamadas así en honor a Werner Fenchel y Jakob Nielsen ) en el espacio Teichmüllerestán asociados a una descomposición de la superficie de los pantalones. Esta es una descomposición deen pares de calzoncillos , ya cada curva en la descomposición se le asocia su longitud en la métrica hiperbólica correspondiente al punto en el espacio de Teichmüller, y otro parámetro real llamado twist que es más complicado de definir. [11]
En caso de una superficie cerrada del género existen curvas en la descomposición de un pantalón y obtenemos parámetros, que es la dimensión de . De hecho, las coordenadas de Fenchel-Nielsen definen un homeomorfismo. [12]
En el caso de una superficie con pinchazos, algunos pantalones están "degenerados" (tienen una cúspide) y dan solo dos parámetros de longitud y torsión. Nuevamente en este caso las coordenadas de Fenchel-Nielsen definen un homeomorfismo.
Coordenadas de corte
Si la superficie admite triangulaciones ideales (cuyos vértices son exactamente los pinchazos). Por la fórmula de la característica de Euler, tal triangulación tienetriangulos. Una estructura hiperbólica en determina un difeomorfismo (único hasta isotopía) enviar cada triángulo a un triángulo ideal hiperbólico , por lo tanto, un punto en. Los parámetros para tal estructura son las longitudes de traslación para cada par de lados de los triángulos pegados en la triangulación. [13] Hay tales parámetros que pueden tomar cualquier valor en , y la integridad de la estructura corresponde a una ecuación lineal y así obtenemos la dimensión correcta . Estas coordenadas se denominan coordenadas de corte .
Para superficies cerradas, un par de pantalones se puede descomponer como la unión de dos triángulos ideales (puede verse como una métrica hiperbólica incompleta en la esfera de tres agujeros [14] ). Así también obtenemos coordenadas de corte en .
Temblores
Una trayectoria de terremoto simple en el espacio de Teichmüller es una trayectoria determinada por la variación de una sola cizalla o longitud de la coordenada Fenchel-Nielsen (para una triangulación ideal fija de una superficie). El nombre proviene de ver los triángulos ideales o los pantalones como placas tectónicas y el cizallamiento como movimiento de placas.
De manera más general, se pueden producir terremotos a lo largo de laminaciones geodésicas . Un teorema de Thurston establece que dos puntos en el espacio de Teichmüller están unidos por una trayectoria sísmica única.
Teoría analítica
Mapeos cuasiconformales
Un mapeo cuasiconformal entre dos superficies de Riemann es un homeomorfismo que deforma la estructura conforme de manera acotada sobre la superficie. Más precisamente, es diferenciable en casi todas partes y hay una constante, llamada dilatación , de modo que
dónde son las derivadas en una coordenada conforme y su conjugado .
Hay asignaciones cuasi-conformes en cada clase de isotopía, por lo que una definición alternativa para el espacio de Teichmüller es la siguiente. Arreglar una superficie Riemann difeomorfo a , y el espacio de Teichmüller está en biyección natural con las superficies marcadas dónde es un mapeo cuasiconformal, hasta la misma relación de equivalencia anterior.
Diferenciales cuadráticos y la incrustación de Bers
Con la definición anterior, si hay un mapa natural desde el espacio de Teichmüller hasta el espacio de -Soluciones equivalentes a la ecuación diferencial de Beltrami. [15] Estos dan lugar, a través de la derivada de Schwarz, a diferenciales cuadráticos en. [16] El espacio de esos es un espacio complejo de dimensión compleja, y la imagen del espacio Teichmüller es un conjunto abierto. [17] Este mapa se llama incrustación de Bers.
Un diferencial cuadrático en puede ser representado por una superficie de traslación conforme a.
Mapeos de Teichmüller
El teorema de Teichmüller [18] establece que entre dos superficies marcadas de Riemann y siempre hay un mapeo cuasiconformal único en la clase de isotopía de que tiene una dilatación mínima. Este mapa se llama mapeo de Teichmüller.
En la imagen geométrica esto significa que por cada dos superficies de Riemann difeomórficas y difeomorfismo existen dos polígonos que representan y un mapa afín que se envía uno al otro, que tiene la menor dilatación entre todos los mapas cuasiconformales .
Métrica
La métrica de Teichmüller
Si y el mapeo de Teichmüller entre ellos tiene dilatación entonces la distancia de Teichmüller entre ellos es por definición . De hecho, esto define una distancia enque induce su topología, y para la que está completo. Esta es la métrica más utilizada para el estudio de la geometría métrica del espacio de Teichmüller. En particular, es de interés para los teóricos de grupos geométricos.
Hay una función definida de manera similar, utilizando las constantes de Lipschitz de mapas entre superficies hiperbólicas en lugar de las dilataciones cuasiconformales, en, que no es simétrico. [19]
La métrica de Weil-Petersson
Diferenciales cuadráticos en una superficie de Riemann se identifican con el espacio tangente en al espacio Teichmüller. [20] La métrica de Weil-Petersson es la métrica de Riemann definida por la producto interno en diferenciales cuadráticos.
Compactificaciones
Hay varias compactaciones desiguales de los espacios de Teichmüller que se han estudiado. Varias de las compactaciones anteriores dependen de la elección de un punto en el espacio de Teichmüller, por lo que no son invariables bajo el grupo modular, lo que puede ser un inconveniente. William Thurston encontró más tarde una compactificación sin esta desventaja, que se ha convertido en la compactificación más utilizada.
Compactificación de Thurston
Al observar las longitudes hiperbólicas de curvas cerradas simples para cada punto en el espacio de Teichmüller y tomar el cierre en el espacio proyectivo (de dimensión infinita), Thurston (1988) introdujo una compactificación cuyos puntos en el infinito corresponden a laminaciones medidas proyectivas. El espacio compacto es homeomorfo a una bola cerrada. Esta compactación de Thurston se lleva a cabo de forma continua por parte del grupo modular. En particular, cualquier elemento del grupo modular tiene un punto fijo en la compactificación de Thurston, que Thurston utilizó en su clasificación de elementos del grupo modular .
Compactación de Bers
La compactación de Bers se da tomando el cierre de la imagen de la incrustación de Bers del espacio de Teichmüller, estudiada por Bers (1970) . La incrustación de Bers depende de la elección de un punto en el espacio de Teichmüller, por lo que no es invariable bajo el grupo modular y, de hecho, el grupo modular no actúa continuamente sobre la compactación de Bers.
Compactificación de Teichmüller
Los "puntos en el infinito" en la compactación de Teichmüller consisten en rayos geodésicos (para la métrica de Teichmüller) que comienzan en un punto base fijo. Esta compactación depende de la elección del punto de base, por lo que el grupo modular no actúa sobre ella y, de hecho, Kerckhoff demostró que la acción del grupo modular sobre el espacio de Teichmüller no se extiende a una acción continua sobre esta compactación.
Compactificación Gardiner-Masur
Gardiner y Masur (1991) consideraron una compactación similar a la compactación de Thurston, pero usando longitud extrema en lugar de longitud hiperbólica. El grupo modular actúa continuamente sobre esta compactación, pero demostraron que su compactación tiene estrictamente más puntos en el infinito.
Geometría a gran escala
Se ha realizado un extenso estudio de las propiedades geométricas del espacio de Teichmüller dotado de la métrica de Teichmüller. Las propiedades conocidas a gran escala incluyen:
- Espacio Teichmüller contiene subespacios planos de dimensión , y no hay planos incrustados cuasi-isométricamente de dimensiones superiores. [21]
- En particular, si o o luego no es hiperbólico .
Por otro lado, el espacio de Teichmüller exhibe varias propiedades características de los espacios hiperbólicos, tales como:
- Algunas geodésicas se comportan como lo hacen en el espacio hiperbólico. [22]
- Los paseos al azar en el espacio de Teichmüller convergen casi con seguridad a un punto en el límite de Thurston. [23]
Algunas de estas características pueden explicarse mediante el estudio de mapas desde el espacio de Teichmüller hasta el complejo de curvas, que se sabe que es hiperbólico.
Geometría compleja
La incrustación de Bers da una estructura compleja como un subconjunto abierto de
Métricas provenientes de la estructura compleja
Dado que el espacio de Teichmüller es una variedad compleja, lleva una métrica Carathéodory . El espacio de Teichmüller es hiperbólico de Kobayashi y su métrica de Kobayashi coincide con la métrica de Teichmüller. [24] Este último resultado se usa en la prueba de Royden de que el grupo de clases de mapeo es el grupo completo de isometrías para la métrica de Teichmüller.
La incrustación de Bers da cuenta del espacio de Teichmüller como un dominio de holomorfia y, por lo tanto, también lleva una métrica de Bergman .
Métricas de Kähler en el espacio de Teichmüller
La métrica de Weil-Petersson es Kähler pero no está completa.
Cheng y Yau demostraron que existe una métrica completa única de Kähler-Einstein en el espacio de Teichmüller. [25] Tiene una curvatura escalar negativa constante.
El espacio de Teichmüller también lleva una métrica completa de Kähler de curvatura seccional acotada introducida por McMullen (2000) que es hiperbólica de Kähler.
Equivalencia de métricas
Con la excepción de la métrica incompleta de Weil-Petersson, todas las métricas del espacio de Teichmüller que se presentan aquí son cuasi-isométricas entre sí. [26]
Ver también
- Módulos de curvas algebraicas
- teoría p-ádica de Teichmüller
- Teoría interuniversal de Teichmüller
Referencias
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