Fermat quintic triple

Sección transversal bidimensional de la quintic de Fermat triple

En matemáticas, una quíntica triple de Fermat es una triple quíntica especial , en otras palabras, una hipersuperficie de grado 5, dimensión 3 en un espacio proyectivo complejo de 4 dimensiones , dado por la ecuación

${\displaystyle V^{5}+W^{5}+X^{5}+Y^{5}+Z^{5}=0}$.

Este triple, llamado así por Pierre de Fermat , es una variedad Calabi-Yau .

El diamante de Hodge de una quíntica triple no singular es

			1
		0		0
	0		1		0
1		101		101		1
	0		1		0
		0		0
			1

Curvas racionales

Herbert Clemens  ( 1984 ) conjeturó que el número de curvas racionales de un grado dado en un triple genérico es finito. La triple quintica de Fermat no es genérica en este sentido, y Alberto Albano y Sheldon Katz  ( 1991 ) demostraron que sus líneas están contenidas en 50 familias unidimensionales de la forma

${\displaystyle (x:-\zeta x:ay:by:cy)}$

por ${\displaystyle \zeta ^{5}=1}$ y ${\displaystyle a^{5}+b^{5}+c^{5}=0}$. Hay 375 líneas en más de una familia, de la forma

${\displaystyle (x:-\zeta x:y:-\eta y:0)}$

por quintas raíces de la unidad ${\displaystyle \zeta }$ y ${\displaystyle \eta }$.

Referencias

• Albano, Alberto; Katz, Sheldon (1991), "Lines on the Fermat quíntico triple y la conjetura infinitesimal generalizada de Hodge", Transactions of the American Mathematical Society , 324 (1): 353–368, doi : 10.2307 / 2001512 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  2001512 , MR  1024767
• Clemens, Herbert (1984), "Algunos resultados sobre las asignaciones de Abel-Jacobi", Temas de geometría algebraica trascendental (Princeton, NJ, 1981/1982) , Annals of Mathematics Studies, 106 , Princeton University Press, págs. 289-304, MR  0756858
• Cox, David A .; Katz, Sheldon (1999), Simetría especular y geometría algebraica , Encuestas y monografías matemáticas, 68 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1059-0, MR  1677117