Quintic triple

En matemáticas, una quíntica triple es una hipersuperficie tridimensional de grado 5 en un espacio proyectivo de 4 dimensiones. Los triples quínticos no singulares son variedades de Calabi-Yau .

El matemático Robbert Dijkgraaf dijo: "Un número que todo geómetra algebraico conoce es el número 2.875 porque, obviamente, ese es el número de líneas en una quíntica". ^[1]

Una quíntica triple es una clase especial de variedades Calabi-Yau definida por una variedad proyectiva de grado en . Muchos ejemplos se construyen como hipersuperficies en , o intersecciones completos que yacen en , o como una variedad lisa resolver las singularidades de otra variedad. Como conjunto, una variedad Calabi-Yau es ${\ Displaystyle 5}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {4}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {4}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {4}}$

Recordemos que un polinomio homogéneo (donde es la Serre-torsión de la línea paquete hiperplano ) define una variedad proyectiva , o esquema proyectiva , , de la álgebra ${\ Displaystyle f \ in \ Gamma (\ mathbb {P} ^ {4}, {\ mathcal {O}} (d))}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (d)}$ ${\ Displaystyle X}$

Uno de los ejemplos más fáciles de verificar de una variedad Calabi-Yau lo da la quintica triple de Fermat , que se define por el lugar de fuga del polinomio

Otra aplicación de la triple quintica es en el estudio de la conjetura infinitesimal generalizada de Hodge donde este difícil problema puede resolverse en este caso. ^[2] De hecho, todas las líneas de esta hipersuperficie se pueden encontrar explícitamente.