La parametrización de Feynman es una técnica para evaluar integrales de bucle que surgen de diagramas de Feynman con uno o más bucles. Sin embargo, a veces también es útil en la integración en áreas de matemáticas puras .
Richard Feynman observó que:
que es válido para cualquier número complejo A y B siempre que 0 no esté contenido en el segmento de línea que conecta A y B. La fórmula ayuda a evaluar integrales como:
Si A ( p ) y B ( p ) son funciones lineales de p , entonces la última integral se puede evaluar mediante sustitución.
De manera más general, el uso de la función delta de Dirac : [1]
Esta fórmula es válida para cualquier número complejo A 1 , ..., A n siempre que 0 no esté contenido en su casco convexo .
Incluso de manera más general, siempre que para todos :
donde la función Gamma se utilizó. [2]
Ahora simplemente transforme linealmente la integral usando la sustitución,
- lo que lleva a entonces
y obtenemos el resultado deseado:
En casos más generales, las derivaciones se pueden realizar de manera muy eficiente utilizando la parametrización de Schwinger . Por ejemplo, para derivar la forma parametrizada de Feynman de, primero reexpresamos todos los factores en el denominador en su forma parametrizada de Schwinger:
y reescribir,
Luego realizamos el siguiente cambio de variables de integración,
para obtener,
dónde denota integración sobre la región con .
El siguiente paso es realizar la integración.
donde hemos definido
Sustituyendo este resultado, llegamos a la penúltima forma,
y, después de introducir una integral extra, llegamos a la forma final de la parametrización de Feynman, a saber,
De manera similar, para derivar la forma de parametrización de Feynman del caso más general, uno podría comenzar con la forma de parametrización adecuada de diferentes factores de Schwinger en el denominador, a saber,
y luego proceda exactamente según las líneas del caso anterior.
Ocasionalmente se usa una forma simétrica de la parametrización, donde la integral se realiza en cambio en el intervalo , llevando a: