La transformada finita de Legendre (fLT) transforma una función matemática definida en el intervalo finito en su espectro de Legendre. [1] [2] Por el contrario, el fLT inverso (ifLT) reconstruye la función original a partir de los componentes del espectro de Legendre y los polinomios de Legendre , que son ortogonales en el intervalo [−1,1]. Específicamente, suponga que una función x ( t ) se define en un intervalo [−1,1] y se discretiza en N puntos equidistantes en este intervalo. El fLT luego produce la descomposición de x ( t ) en sus componentes espectrales de Legendre,
donde el factor (2 k + 1) / N sirve como factor de normalización y L x ( k ) da la contribución del k -ésimo polinomio de Legendre ax ( t ) tal que (ifLT)
El fLT no debe confundirse con la transformada de Legendre o la transformación de Legendre utilizada en termodinámica y física cuántica.
Filtro de Legendre
El fLT de un resultado experimental ruidoso s ( t ) y la aplicación posterior del fLT inverso (ifLT) en un espectro de Legendre apropiadamente truncado de s ( t ) da una versión suavizada de s ( t ). El fLT y el ifLT incompleto actúan así como un filtro. A diferencia del filtro de paso bajo común de Fourier que transmite armónicos de baja frecuencia y filtra los armónicos de alta frecuencia, el de paso bajo de Legendre transmite componentes de señal proporcionales a los polinomios de Legendre de bajo grado, mientras que los componentes de señal proporcionales a los polinomios de Legendre de grado superior se filtran. [3]
Referencias
- ^ Jerri, AJ (1992). Transformaciones integrales y discretas con aplicaciones y análisis de errores . Matemática pura y aplicada. 162 . Nueva York: Marcel Dekker Inc. Zbl 0753.44001 .
- ^ Méndez-Pérez, JMR; Miquel Morales, G. (1997). "Sobre la convolución de la transformada finita generalizada de Legendre". Matemáticas. Nachr . 188 : 219-236. doi : 10.1002 / mana.19971880113 . Zbl 0915.46038 .
- ^ Guobin Bao y Detlev Schild, Ajuste y filtrado rápidos y precisos de exponenciales ruidosos en el espacio de leyenda, 2014. PLoS ONE, 9 (3), e90500
Otras lecturas
- Butzer, Paul L. (1983). "Métodos de transformación de Legendre en la solución de problemas básicos en aproximación algebraica". Funciones, series, operadores, Proc. En t. Conf., Budapest 1980, vol. Yo . Coloq. Matemáticas. Soc. János Bolyai. 35 . págs. 277-301. Zbl 0567.41010 .