En ciencias físicas y matemáticas , los polinomios de Legendre (nombrados en honor a Adrien-Marie Legendre , quien los descubrió en 1782) son un sistema de polinomios completos y ortogonales , con una gran cantidad de propiedades matemáticas y numerosas aplicaciones. Se pueden definir de muchas maneras, y las diversas definiciones resaltan diferentes aspectos, así como sugieren generalizaciones y conexiones a diferentes estructuras matemáticas y aplicaciones físicas y numéricas.
Estrechamente relacionados con los polinomios de Legendre están los polinomios de Legendre asociados , las funciones de Legendre, las funciones de Legendre del segundo tipo y las funciones de Legendre asociadas .
Definición por construcción como sistema ortogonal
En este enfoque, los polinomios se definen como un sistema ortogonal con respecto a la función de peso. durante el intervalo . Es decir, es un polinomio de grado , tal que
Esto determina los polinomios completamente hasta un factor de escala general, que está fijado por la estandarización . Que esta es una definición constructiva se ve así: es el único polinomio correctamente estandarizado de grado 0. debe ser ortogonal a , llevando a , y está determinada por la exigencia de ortogonalidad para y , y así. se fija exigiendo ortogonalidad a todos con . Esto da condiciones, que, junto con la estandarización arregla todo coeficientes en . Con trabajo, todos los coeficientes de cada polinomio se pueden determinar sistemáticamente, lo que lleva a la representación explícita en potencias de dada a continuación.
Esta definición de la es el más simple. No apela a la teoría de ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, la completitud de los polinomios se sigue inmediatamente de la completitud de las potencias 1,. Finalmente, al definirlos a través de la ortogonalidad con respecto a la función de peso más obvia en un intervalo finito, establece los polinomios de Legendre como uno de los tres sistemas polinomiales ortogonales clásicos . Los otros dos son los polinomios de Laguerre , que son ortogonales sobre la mitad de la línea., y los polinomios de Hermite , ortogonales sobre la línea completa, con funciones de ponderación que son las funciones analíticas más naturales que aseguran la convergencia de todas las integrales.
Definición mediante función generadora
Los polinomios de Legendre también se pueden definir como los coeficientes en una expansión formal en potencias de de la función generadora [1]
( 2 )
El coeficiente de es un polinomio en de grado . Expandiéndose hasta da
La expansión a órdenes superiores se vuelve cada vez más engorrosa, pero es posible hacerlo de forma sistemática y, de nuevo, conduce a una de las formas explícitas que se indican a continuación.
Es posible obtener la mayor Sin embargo, sin recurrir a la expansión directa de la serie Taylor. Eq. 2 se diferencia con respecto a t en ambos lados y se reordena para obtener
Reemplazando el cociente de la raíz cuadrada con su definición en la Ec. 2 , y al igualar los coeficientes de potencias de t en la expansión resultante se obtiene la fórmula de recursividad de Bonnet
Esta relación, junto con los dos primeros polinomios P 0 y P 1 , permite que el resto se genere de forma recursiva.
El enfoque de la función generadora está directamente relacionado con la expansión multipolar en la electrostática, como se explica a continuación, y así es como Legendre definió por primera vez los polinomios en 1782.
Definición mediante ecuación diferencial
Una tercera definición es en términos de soluciones a la ecuación diferencial de Legendre.
( 1 )
Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en x = ± 1, por lo que si se busca una solución utilizando el método estándar de Frobenius o de series de potencias , una serie sobre el origen solo convergerá para | x | <1 en general. Cuando n es un número entero, la solución P n ( x ) que es regular en x = 1 también es regular en x = −1 , y la serie para esta solución termina (es decir, es un polinomio). La ortogonalidad e integridad de estas soluciones se ve mejor desde el punto de vista de la teoría de Sturm-Liouville . Reescribimos la ecuación diferencial como un problema de valores propios,
con el valor propio en lugar de . Si exigimos que la solución sea regular en, el operador diferencial de la izquierda es hermitiano . Se encuentra que los valores propios son de la forma n ( n + 1) , con, y las funciones propias son las . La ortogonalidad y la completitud de este conjunto de soluciones se derivan de inmediato del marco más amplio de la teoría de Sturm-Liouville.
La ecuación diferencial admite otra solución no polinomial, las funciones de Legendre del segundo tipo. . Una generalización de dos parámetros de (Ec. 1 ) se llama ecuación diferencial general de Legendre , resuelta por los polinomios de Legendre asociados . Las funciones de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial de Legendre (generalizada o no) con parámetros no enteros .
En entornos físicos, la ecuación diferencial de Legendre surge naturalmente siempre que uno resuelve la ecuación de Laplace (y las ecuaciones diferenciales parciales relacionadas ) mediante la separación de variables en coordenadas esféricas . Desde este punto de vista, las funciones propias de la parte angular del operador laplaciano son los armónicos esféricos , de los cuales los polinomios de Legendre son (hasta una constante multiplicativa) el subconjunto que se deja invariante por rotaciones sobre el eje polar. Los polinomios aparecen como dónde es el ángulo polar. Este enfoque de los polinomios de Legendre proporciona una conexión profunda con la simetría rotacional. Muchas de sus propiedades, que se encuentran laboriosamente a través de los métodos de análisis, por ejemplo, el teorema de la adición, se encuentran más fácilmente utilizando los métodos de simetría y teoría de grupos, y adquieren un profundo significado físico y geométrico.
Ortogonalidad e integridad
La estandarización fija la normalización de los polinomios de Legendre (con respecto a la norma L 2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 ). Dado que también son ortogonales con respecto a la misma norma, los dos enunciados se pueden combinar en una sola ecuación,
(donde δ mn denota el delta de Kronecker , igual a 1 si m = ny a 0 en caso contrario). Esta normalización se encuentra más fácilmente empleando la fórmula de Rodrigues , que se da a continuación.
Que los polinomios estén completos significa lo siguiente. Dada cualquier función continua por partes con un número finito de discontinuidades en el intervalo [−1,1], la secuencia de sumas
converge en la media a como , siempre que tomemos
Esta propiedad de completitud subyace a todas las expansiones discutidas en este artículo y, a menudo, se indica en el formulario
con −1 ≤ x ≤ 1 y −1 ≤ y ≤ 1 .
Fórmula de Rodrigues y otras fórmulas explícitas
Una expresión especialmente compacta para los polinomios de Legendre viene dada por la fórmula de Rodrigues :
Esta fórmula permite derivar un gran número de propiedades del 's. Entre estos se encuentran representaciones explícitas como
donde el último, que también es inmediato de la fórmula de recursividad, expresa los polinomios de Legendre mediante monomios simples e involucra la forma generalizada del coeficiente binomial .
Los primeros polinomios de Legendre son:
Las gráficas de estos polinomios (hasta n = 5 ) se muestran a continuación:
Aplicaciones de los polinomios de Legendre
Expandiendo un potencial 1 / r
Los polinomios de Legendre fueron introducidos por primera vez en 1782 por Adrien-Marie Legendre [2] como los coeficientes en la expansión del potencial newtoniano.
donde r y r ' son las longitudes de los vectores x y x ' , respectivamente, y γ es el ángulo entre los dos vectores. La serie converge cuando r > r ′ . La expresión da el potencial gravitacional asociado a una masa puntual o el potencial de Coulomb asociado a una carga puntual . La expansión usando polinomios de Legendre podría ser útil, por ejemplo, al integrar esta expresión sobre una masa continua o distribución de carga.
Los polinomios de Legendre ocurren en la solución de la ecuación de Laplace del potencial estático , ∇ 2 Φ ( x ) = 0 , en una región del espacio libre de carga, utilizando el método de separación de variables , donde las condiciones de contorno tienen simetría axial (sin dependencia en un ángulo azimutal ). Donde ẑ es el eje de simetría y θ es el ángulo entre la posición del observador y el eje ẑ (el ángulo cenital), la solución para el potencial será
A l y B l deben determinarse de acuerdo con la condición de contorno de cada problema. [3]
También aparecen al resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones para una fuerza central.
Polinomios de Legendre en expansiones multipolares
Los polinomios de Legendre también son útiles para expandir funciones de la forma (esto es lo mismo que antes, escrito de manera un poco diferente):
que surgen naturalmente en expansiones multipolares . El lado izquierdo de la ecuación es la función generadora de los polinomios de Legendre.
Como un ejemplo, el potencial eléctrico Φ ( r , θ ) (en coordenadas esféricas ) debido a una carga puntual situado en la z eje x en z = una (ver diagrama de la derecha) varía como
Si el radio r del punto de observación P es mayor que a , el potencial puede expandirse en los polinomios de Legendre
donde hemos definido η =a/r<1 y x = cos θ . Esta expansión se utiliza para desarrollar la expansión multipolar normal .
Por el contrario, si el radio r del punto de observación P es menor que a , el potencial aún puede expandirse en los polinomios de Legendre como arriba, pero con a y r intercambiados. Esta expansión es la base de la expansión multipolar interior .
Polinomios de Legendre en trigonometría
Las funciones trigonométricas cos nθ , también denominadas polinomios de Chebyshev T n (cos θ ) ≡ cos nθ , también se pueden expandir multipolar mediante los polinomios de Legendre P n (cos θ ) . Los primeros pedidos son los siguientes:
Otra propiedad es la expresión de sin ( n + 1) θ , que es
Polinomios de Legendre en redes neuronales recurrentes
Una red neuronal recurrente que contiene un vector de memoria d- dimensional,, se puede optimizar de modo que sus actividades neuronales obedezcan al sistema lineal invariante en el tiempo dado por la siguiente representación del espacio de estados :
En este caso, la ventana deslizante de a través del pasado unidades de tiempo se aproxima mejor mediante una combinación lineal de la primera polinomios de Legendre desplazados, ponderados juntos por los elementos de en el momento :
Cuando se combinan con métodos de aprendizaje profundo , estas redes pueden capacitarse para superar a las unidades de memoria a corto plazo y las arquitecturas relacionadas con el uso de menos recursos computacionales. [4]
Propiedades adicionales de los polinomios de Legendre
Los polinomios de Legendre tienen paridad definida. Es decir, son pares o impares , [5] según
Otra propiedad útil es
que se desprende de considerar la relación de ortogonalidad con . Es conveniente cuando una serie Legendrese utiliza para aproximar una función o datos experimentales: el promedio de la serie en el intervalo [−1, 1] viene dado simplemente por el coeficiente de expansión principal.
Dado que la ecuación diferencial y la propiedad de ortogonalidad son independientes de la escala, las definiciones de los polinomios de Legendre se "estandarizan" (a veces se denominan "normalización", pero la norma real no es 1) al escalarlas de modo que
La derivada en el punto final está dada por
La desigualdad de Askey-Gasper para polinomios de Legendre dice
Los polinomios de Legendre de un producto escalar de vectores unitarios se pueden expandir con armónicos esféricos usando
donde los vectores unitarios r y r ' tener coordenadas esféricas ( θ , varphi ) y ( theta ', φ ') , respectivamente.
Relaciones de recurrencia
Como se discutió anteriormente, los polinomios de Legendre obedecen a la relación de recurrencia de tres términos conocida como fórmula de recursión de Bonnet
y
o, con la expresión alternativa, que también se mantiene en los puntos finales
Útil para la integración de polinomios de Legendre es
De lo anterior se puede ver también que
o equivalente
donde || P n || es la norma en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1
Asintóticos
Asintóticamente para [6]
y para argumentos de magnitud superior a 1
donde J 0 e I 0 son funciones de Bessel .
Ceros
Todas ceros de son reales, distintos entre sí, y se encuentran en el intervalo . Además, si los consideramos dividiendo el intervalo dentro subintervalos, cada subintervalo contendrá exactamente un cero de . Esto se conoce como propiedad de entrelazado. Debido a la propiedad de paridad, es evidente que si es un cero de , Asi es . Estos ceros juegan un papel importante en la integración numérica basada en la cuadratura gaussiana . La cuadratura específica basada en elLa de se conoce como cuadratura de Gauss-Legendre.
De esta propiedad y los hechos que , resulta que posee mínimos y máximos locales en . Equivalentemente, posee ceros en .
Evaluaciones puntuales
La paridad y la normalización implican los valores en los límites. ser - estar
Al origen se puede demostrar que los valores vienen dados por
Polinomios de Legendre con argumento transformado
Polinomios de Legendre desplazados
Los polinomios de Legendre desplazados se definen como
- .
Aquí la función de "desplazamiento" x ↦ 2 x - 1 es una transformación afín que mapea bijetivamente el intervalo [0,1] al intervalo [−1,1] , lo que implica que los polinomios P̃ n ( x ) son ortogonales en [0 , 1] :
Una expresión explícita para los polinomios de Legendre desplazados viene dada por
El análogo de la fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre desplazados es
Los primeros polinomios de Legendre desplazados son:
Funciones racionales de Legendre
Las funciones racionales de Legendre son una secuencia de funciones ortogonales en [0, ∞). Se obtienen componiendo la transformada de Cayley con polinomios de Legendre.
Una función de Legendre racional de grado n se define como:
Son funciones propias del problema singular de Sturm-Liouville :
con valores propios
Ver también
- Cuadratura gaussiana
- Polinomios de Gegenbauer
- Desigualdades de Turán
- Onda de Legendre
- Polinomios de Jacobi
- Polinomios de Romanovski
- Expansión de Laplace (potencial)
Notas
- ^ Arfken y Weber , 2005 , p.743
- ↑ Legendre, A.-M. (1785) [1782]. "Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes" (PDF) . Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées (en francés). X . París. págs. 411–435. Archivado desde el original (PDF) el 20 de septiembre de 2009.
- ^ Jackson, JD (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley & Sons. pag. 103 . ISBN 978-0-471-30932-1.
- ^ Voelker, Aaron R .; Kajić, Ivana; Eliasmith, Chris (2019). Unidades de memoria de Legendre: representación en tiempo continuo en redes neuronales recurrentes (PDF) . Avances en sistemas de procesamiento de información neuronal .
- ^ Arfken y Weber , 2005 , p.753
- ^ 1895–1985., Szegő, Gábor (1975). Polinomios ortogonales (4ª ed.). Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 194 (Teorema 8.21.2). ISBN 0821810235. OCLC 1683237 .CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
Referencias
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 8" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. págs. 332, 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 . Consulte también el capítulo 22 .
- Arfken, George B .; Weber, Hans J. (2005). Métodos matemáticos para físicos . Prensa académica de Elsevier. ISBN 0-12-059876-0.
- Bayin, SS (2006). Métodos matemáticos en ciencia e ingeniería . Wiley. ch. 2. ISBN 978-0-470-04142-0.
- Belousov, SL (1962). Tablas de polinomios de Legendre asociados normalizados . Tablas matemáticas. 18 . Pergamon Press. ISBN 978-0-08-009723-7.
- Courant, Richard ; Hilbert, David (1953). Métodos de Física Matemática . 1 . Nueva York, NY: Interscience. ISBN 978-0-471-50447-4.
- Dunster, TM (2010), "Legendre and Related Functions" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- El Attar, Refaat (2009). Polinomios y funciones de Legendre . CreateSpace. ISBN 978-1-4414-9012-4.
- Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
enlaces externos
- Una derivación informal rápida del polinomio de Legendre en el contexto de la mecánica cuántica del hidrógeno
- "Polinomios de Legendre" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Entrada de Wolfram MathWorld sobre polinomios de Legendre
- Artículo del Dr. James B. Calvert sobre polinomios de Legendre de su colección personal de matemáticas
- Los polinomios de Legendre por Carlyle E. Moore
- Polinomios de Legendre de la hiperfísica