En las matemáticas y la física , la transformación de Legendre (o transformada de Legendre ), el nombre de Adrien-Marie Legendre , es un involutivo transformación en los reales -valued funciones convexas de una variable real. En problemas físicos, se utiliza para convertir funciones de una cantidad (como posición, presión o temperatura) en funciones de la cantidad conjugada (momento, volumen y entropía, respectivamente). De esta manera, se usa comúnmente en la mecánica clásica para derivar el formalismo hamiltoniano del lagrangiano.en formalismo y en termodinámica para derivar los potenciales termodinámicos , así como en la solución de ecuaciones diferenciales de varias variables.
Para funciones suficientemente suaves en la línea real, la transformación de Legendre de una función se puede especificar, hasta una constante aditiva, con la condición de que las primeras derivadas de las funciones sean funciones inversas entre sí. Esto se puede expresar en la notación derivada de Euler como
- dónde significa una función tal que
o, de manera equivalente, como y en la notación de Lagrange .
La generalización de la transformación de Legendre a espacios afines y funciones no convexas se conoce como conjugada convexa (también llamada transformación de Legendre-Fenchel), que se puede utilizar para construir el casco convexo de una función .
Definición
Dejar ser un intervalo , yuna función convexa ; entonces su transformación de Legendre es la función definido por
dónde denota el supremo , y el dominio es
La transformación siempre está bien definida cuando es convexo .
La generalización a funciones convexas en un conjunto convexo es sencillo: tiene dominio
y está definido por
dónde denota el producto escalar de y .
La función se llama función conjugada convexa de. Por razones históricas (arraigadas en la mecánica analítica), la variable conjugada a menudo se denota, en vez de . Si la función convexase define en toda la línea y es diferenciable en todas partes , entonces
puede interpretarse como el negativo de la -intercepto de la recta tangente a la gráfica de que tiene pendiente .
La transformación de Legendre es una aplicación de la relación de dualidad entre puntos y líneas. La relación funcional especificada por se puede representar igualmente bien como un conjunto de puntos, o como un conjunto de rectas tangentes especificadas por sus valores de pendiente e intersección.
Entender la transformación en términos de derivadas
Para una función convexa diferenciable en la línea real con una primera derivada invertible, la transformada de Legendre se puede especificar, hasta una constante aditiva, con la condición de que las primeras derivadas de las funciones sean funciones inversas entre sí. Explícitamente, para una función convexa diferenciable en la línea real con una primera derivada con inversa , la transformación de Legendre (con derivada con inversa ) se puede especificar, hasta una constante aditiva, mediante la condición de que y son funciones inversas entre sí, es decir , y .
Para ver esto, primero tenga en cuenta que si es diferenciable y es un punto crítico de la función de, entonces el supremo se logra en (por convexidad). Por lo tanto,.
Suponer que es invertible y deja denotar su inverso. Entonces para cada, el punto es el único punto crítico de . En efecto, y entonces . Por lo tanto tenemos para cada . Al diferenciar con respecto a encontramos
Desde esto simplifica a . En otras palabras, y son inversas.
En general, si es una inversa de , luego y así la integración proporciona una constante así que eso .
En términos prácticos, dado , la gráfica paramétrica de versus equivale a la gráfica de versus .
En algunos casos (por ejemplo, potenciales termodinámicos, a continuación), se utiliza un requisito no estándar, que equivale a una definición alternativa de f * con un signo menos ,
Propiedades
- La transformada de Legendre de una función convexa es convexa.
- Demostremos esto para el caso de una doble diferenciación con una derivada doble distinta de cero (y por tanto positiva, debido a la convexidad).
- Por un fijo , dejar maximizar . Luego , señalando que depende de . Por lo tanto,
- La derivada de es en sí mismo diferenciable con una derivada positiva y, por tanto, estrictamente monótona e invertible.
- Por lo tanto dónde , significa que se define de modo que .
- Tenga en cuenta que también es diferenciable con la siguiente derivada,
- Por lo tanto es la composición de funciones diferenciables, por tanto diferenciables.
- donación
- entonces es convexo.
- De ello se deduce que la transformación de Legendre es una involución , es decir,:
- Al usar las igualaciones anteriores para , y su derivado,
Ejemplos de
Ejemplo 1
La función exponencial posee como una transformada de Legendre, ya que sus respectivas primeras derivadas e x e ln p son funciones inversas entre sí.
Este ejemplo ilustra que los dominios respectivos de una función y su transformada de Legendre no necesitan coincidir.
Ejemplo 2
Sea f ( x ) = cx 2 definido en ℝ, donde c > 0 es una constante fija.
Para x * fijo, la función de x , x * x - f ( x ) = x * x - cx 2 tiene la primera derivada x * - 2 cx y la segunda derivada −2 c ; hay un punto estacionario en x = x * / 2 c , que siempre es un máximo.
Por lo tanto, I * = ℝ y
Las primeras derivadas de f , 2 cx y de f * , x * / (2 c ) , son funciones inversas entre sí. Claramente, además,
a saber, f ** = f .
Ejemplo 3
Sea f ( x ) = x 2 para x ∈ I = [2, 3] .
Para x * fijo, x * x - f ( x ) es continuo en I compact , por lo que siempre toma un máximo finito en él; de ello se deduce que I * = ℝ .
El punto estacionario en x = x * / 2 está en el dominio [2, 3] si y solo si 4 ≤ x * ≤ 6 ; de lo contrario, el máximo se toma en x = 2 o x = 3 . Resulta que
Ejemplo 4
La función f ( x ) = cx es convexa, para cada x (no se requiere convexidad estricta para que la transformación de Legendre esté bien definida). Claramente, x * x - f ( x ) = ( x * - c ) x nunca está acotado desde arriba como una función de x , a menos que x * - c = 0 . Por tanto, f * se define en I * = { c } y f * ( c ) = 0 .
Se puede verificar la involutividad: por supuesto, x * x - f * ( x *) siempre está acotado como una función de x * ∈ { c }, por lo tanto, I ** = ℝ . Entonces, para todo x uno tiene
y por tanto f ** ( x ) = cx = f ( x ) .
Ejemplo 5: varias variables
Dejar
definirse en X = ℝ n , donde A es una matriz definida positiva real.
Entonces f es convexa y
tiene gradiente p - 2 Ax y hessiano −2 A , que es negativo; por tanto, el punto estacionario x = A −1 p / 2 es un máximo.
Tenemos X * = ℝ n , y
Comportamiento de diferenciales bajo transformaciones de Legendre
La transformada de Legendre está vinculada a la integración por partes , pdx = d ( px ) - xdp .
Deje que f sea una función de dos variables independientes x y y , con el diferencial
Suponga que es convexo en x para todo y , de modo que se pueda realizar la transformada de Legendre en x , siendo p la variable conjugada ax . Dado que la nueva variable independiente es p , los diferenciales dx y dy se transfieren a dp y dy , es decir, construimos otra función con su diferencial expresado en términos de la nueva base dp y dy .
Por tanto, consideramos la función g ( p , y ) = f - px de modo que
La función -g ( p , y ) es la transformada de Legendre de f ( x , y ) , donde solo la variable independiente x ha sido suplantada por p . Esto se usa ampliamente en termodinámica, como se ilustra a continuación.
Aplicaciones
Mecánica analítica
Una transformada de Legendre se utiliza en la mecánica clásica para derivar la formulación hamiltoniana de la formulación lagrangiana , y viceversa. Un lagrangiano típico tiene la forma
dónde son coordenadas en R n × R n , M es una matriz real positiva, y
Por cada q fijo, es una función convexa de , tiempo juega el papel de una constante.
De ahí la transformación de Legendre de en función de v es la función hamiltoniana,
- .
En un entorno más general, son coordenadas locales en el paquete tangente de un colector . Para cada q ,es una función convexa del espacio tangente V q . La transformada de Legendre da al hamiltonianoen función de las coordenadas ( p , q ) del paquete cotangente ; el producto interno utilizado para definir la transformación de Legendre se hereda de la estructura simpléctica canónica pertinente . En este escenario abstracto, la transformación de Legendre corresponde a la forma tautológica .
Termodinámica
La estrategia detrás del uso de las transformadas de Legendre en termodinámica es pasar de una función que depende de una variable a una nueva función (conjugada) que depende de una nueva variable, la conjugada de la original. La nueva variable es la derivada parcial de la función original con respecto a la variable original. La nueva función es la diferencia entre la función original y el producto de las variables antiguas y nuevas. Normalmente, esta transformación es útil porque cambia la dependencia de, por ejemplo, la energía de una variable extensiva a su variable intensiva conjugada, que normalmente puede controlarse más fácilmente en un experimento físico.
Por ejemplo, la energía interna es una función explícita de las variables extensivas entropía , volumen y composición química.
que tiene un diferencial total
Estipulando algún estado de referencia común, utilizando la transformada de Legendre (no estándar) de la energía interna, U , con respecto al volumen, V , la entalpía puede definirse escribiendo
que ahora es explícitamente función de la presión P , ya que
La entalpía es adecuada para la descripción de procesos en los que la presión se controla desde el entorno.
Asimismo, es posible cambiar la dependencia de la energía de la variable extensiva de entropía, S , a la variable intensiva T (a menudo más conveniente) , lo que da como resultado las energías libres de Helmholtz y Gibbs . La energía libre de Helmholtz, A , y la energía de Gibbs, G , se obtienen realizando transformadas de Legendre de la energía interna y la entalpía, respectivamente,
La energía libre de Helmholtz es a menudo el potencial termodinámico más útil cuando la temperatura y el volumen se controlan desde el entorno, mientras que la energía de Gibbs suele ser la más útil cuando la temperatura y la presión se controlan desde el entorno.
Un ejemplo: condensador variable
Como otro ejemplo de la física , considere un condensador de placas paralelas , en el que las placas pueden moverse entre sí. Tal condensador permitiría la transferencia de la energía eléctrica que se almacena en el condensador en trabajo mecánico externo, realizado por la fuerza que actúa sobre las placas. Uno puede pensar en la carga eléctrica como análoga a la "carga" de un gas en un cilindro , con la fuerza mecánica resultante ejercida sobre un pistón .
Calcule la fuerza sobre las placas en función de x , la distancia que las separa. Para encontrar la fuerza, calcule la energía potencial y luego aplique la definición de fuerza como el gradiente de la función de energía potencial.
La energía almacenada en un capacitor de capacitancia C ( x ) y carga Q es
donde la dependencia del área de las placas, la constante dieléctrica del material entre las placas y la separación x se abstraen como la capacitancia C ( x ) . (Para un capacitor de placas paralelas, esto es proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la separación).
La fuerza F entre las placas debido al campo eléctrico es entonces
Si el condensador no está conectado a ningún circuito, las cargas de las placas permanecen constantes a medida que se mueven y la fuerza es el gradiente negativo de la energía electrostática.
Sin embargo, suponga, en cambio, que el voltaje entre las placas V se mantiene constante mediante la conexión a una batería , que es un depósito de carga a una diferencia de potencial constante; ahora la carga es variable en lugar del voltaje, su conjugado de Legendre. Para encontrar la fuerza, primero calcule la transformada de Legendre no estándar,
La fuerza ahora se convierte en el gradiente negativo de esta transformada de Legendre, aún apuntando en la misma dirección,
Las dos energías conjugadas resultan estar opuestas entre sí, solo debido a la linealidad de la capacitancia, excepto que ahora Q ya no es una constante. Reflejan las dos vías diferentes de almacenamiento de energía en el condensador, lo que da como resultado, por ejemplo, el mismo "tirón" entre las placas de un condensador.
Teoría de probabilidad
En la teoría de las grandes desviaciones , la función de velocidad se define como la transformación de Legendre del logaritmo de la función generadora de momento de una variable aleatoria. Una aplicación importante de la función de tasa es el cálculo de probabilidades de cola de sumas de variables aleatorias iid.
Microeconomía
La transformación de Legendre surge naturalmente en microeconomía en el proceso de encontrar la oferta S ( P ) de algún producto dado un precio fijo P en el mercado conociendo la función de costo C ( Q ) , es decir, el costo para el productor de fabricar / extraer / etc. Q unidades del producto dado.
Una teoría simple explica la forma de la curva de oferta basándose únicamente en la función de costo. Supongamos el precio de mercado para una sola unidad de nuestro producto es P . Para una empresa que vende este bien, la mejor estrategia es ajustar la producción Q para maximizar su beneficio. Podemos maximizar las ganancias
diferenciando con respecto a Q y resolviendo
Q opt representa la cantidad óptima Q de bienes que el productor está dispuesto a suministrar, que de hecho es la oferta misma:
- .
Si consideramos el beneficio máximo en función del precio, , vemos que es la transformada de Legendre de la función de costo .
Interpretación geométrica
Para una función estrictamente convexa , la transformación de Legendre se puede interpretar como un mapeo entre el gráfico de la función y la familia de tangentes del gráfico. (Para una función de una variable, las tangentes están bien definidas en todos, pero en muchos puntos contables , ya que una función convexa es diferenciable en todos, pero en muchos puntos contables).
La ecuación de una recta con pendiente y y {\ Displaystyle y} -interceptar es dado por Para que esta recta sea tangente a la gráfica de una función en el punto requiere
y
Siendo la derivada de una función estrictamente convexa, la función es estrictamente monótono y, por tanto, inyectivo . La segunda ecuación se puede resolver para permitiendo la eliminación de desde el primero, y resolviendo el -interceptar de la tangente en función de su pendiente
dónde denota la transformada de Legendre de
La familia de rectas tangentes de la gráfica de parametrizado por la pendiente por lo tanto, está dado por
o, escrito implícitamente, por las soluciones de la ecuación
El gráfico de la función original se puede reconstruir a partir de esta familia de líneas como la envolvente de esta familia exigiendo
Eliminando de estas dos ecuaciones da
Identificando con y reconocer el lado derecho de la ecuación anterior como la transformada de Legendre de rendimientos
Transformación de Legendre en más de una dimensión
Para una función diferenciable de valor real en un subconjunto abierto U de R n, el conjugado de Legendre del par ( U , f ) se define como el par ( V , g ) , donde V es la imagen de U bajo el mapeo de gradiente Df , yg es la función de V dada por la fórmula
dónde
es el producto escalar en R n . La transformada multidimensional se puede interpretar como una codificación del casco convexo del epígrafe de la función en términos de sus hiperplanos de apoyo . [1]
Alternativamente, si X es un espacio vectorial e Y es su espacio vectorial dual , entonces para cada punto x de X e y de Y , existe una identificación natural de los espacios cotangentes T * X x con Y y T * Y y con X . Si f es una verdadera función diferenciable sobre X , entonces su exterior derivado , df , es una sección del fibrado cotangente T * X y, como tal, se puede construir un mapa de X a Y . Del mismo modo, si g es una verdadera función diferenciable sobre Y , a continuación, dg define un mapa de Y a X . Si ambos mapas son inversos el uno del otro, decimos que tenemos una transformada de Legendre. La noción de una forma tautológica se usa comúnmente en este contexto.
Cuando la función no es diferenciable, la transformación de Legendre aún se puede extender, y se conoce como la transformación de Legendre-Fenchel . En esta configuración más general, se pierden algunas propiedades: por ejemplo, la transformada de Legendre ya no es su propia inversa (a menos que haya suposiciones adicionales, como la convexidad ).
Transformación de Legendre en colectores
Dejar ser un colector suave , dejaser un paquete de vectores , y dejarser una función suave. Pensamos encomo lagrangiano por analogía con el caso clásico donde, y por algún número positivo y función . Como de costumbre, denotamos porel dual de, por la fibra de encima , y por la restricción de a . La transformación de Legendre de es el morfismo suave
Para describir la transformación de Legendre localmente, dejemos ser un gráfico de coordenadas sobre el cual es trivial. Escogiendo una trivialización de encima , obtenemos gráficos y . En términos de estos gráficos, tenemos, dónde
Si, como en el caso clásico, la restricción de a cada fibra es estrictamente convexa y delimitada por debajo por una forma cuadrática definida positiva menos una constante, entonces la transformada de Legendre es un difeomorfismo. [2] Supongamos que es un difeomorfismo y deja ser la función " hamiltoniana " definida por
Otras propiedades
Propiedades de escala
La transformación de Legendre tiene las siguientes propiedades de escala: Para a > 0 ,
De ello se deduce que si una función es homogénea de grado r, entonces su imagen bajo la transformación de Legendre es una función homogénea de grado s , donde 1 / r + 1 / s = 1 . (Dado que f ( x ) = x r / r , con r > 1 , implica f * ( p ) = p s / s .) Por lo tanto, el único monomio cuyo grado es invariante bajo la transformada de Legendre es el cuadrático.
Comportamiento en traducción
Comportamiento bajo inversión
Comportamiento bajo transformaciones lineales
Sea A : R n → R m una transformación lineal . Para cualquier función convexa f en R n , se tiene
donde A * es el operador adjunto de A definido por
y Af es el avance de f a lo largo de A
Una función convexa cerrada f es simétrica con respecto a un conjunto dado G de transformaciones lineales ortogonales ,
si y sólo si f * es simétrica con respecto a G .
Convolución infimal
La convolución infimal de dos funciones f y g se define como
Sean f 1 , ..., f m funciones convexas propias en R n . Luego
La desigualdad de Fenchel
Para cualquier función f y su conjugada convexa f * la desigualdad de Fenchel (también conocida como la desigualdad de Fenchel-Young ) se cumple para cada x ∈ X y p ∈ X * , es decir, pares x , p independientes ,
Ver también
- Curva dual
- Dualidad proyectiva
- La desigualdad de Young por los productos
- Conjugado convexo
- Teorema de moreau
- Integración por partes
- Teorema de la dualidad de Fenchel
Referencias
- ^ "Copia archivada" . Archivado desde el original el 12 de marzo de 2015 . Consultado el 26 de enero de 2011 .CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
- ^ a b Ana Cannas da Silva. Conferencias sobre geometría simpléctica , 2ª impresión corregida. Springer-Verlag, 2008. págs. 147-148. ISBN 978-3-540-42195-5 .
- Courant, Richard ; Hilbert, David (2008). Métodos de Física Matemática . 2 . John Wiley e hijos. ISBN 978-0471504399.
- Arnol'd, Vladimir Igorevich (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-96890-3.
- Fenchel, W. (1949). "Sobre funciones convexas conjugadas", Can. J. Math 1 : 73-77.
- Rockafellar, R. Tyrrell (1996) [1970]. Análisis convexo . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-01586-4.
- Zia, RKP; Rojizo, EF; McKay, SR (2009). "Dar sentido a la transformación de Legendre". Revista estadounidense de física . 77 (7): 614. arXiv : 0806.1147 . Código Bibliográfico : 2009AmJPh..77..614Z . doi : 10.1119 / 1.3119512 .
Otras lecturas
- Nielsen, Frank (1 de septiembre de 2010). "Transformación de Legendre y geometría de la información" (PDF) . Consultado el 24 de enero de 2016 .
- Touchette, Hugo (27 de julio de 2005). "Legendre-Fenchel se transforma en pocas palabras" (PDF) . Consultado el 24 de enero de 2016 .
- Touchette, Hugo (21 de noviembre de 2006). "Elementos de análisis convexo" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 1 de febrero de 2016 . Consultado el 24 de enero de 2016 .
enlaces externos
- Transformación de Legendre con figuras en maze5.net
- Legendre y Legendre-Fenchel se transforma en una explicación paso a paso en onmyphd.com