En la teoría matemática de los nudos , un invariante de tipo finito , o invariante de Vassiliev (llamado así en honor a Victor Anatolyevich Vassiliev ), es un invariante de nudo que puede extenderse (de una manera precisa que se describirá) a un invariante de ciertos nudos singulares que desaparece. en nudos singulares con singularidades m + 1 y no desaparece en algún nudo singular con singularidades 'm'. Entonces se dice que es de tipo u orden m .
Damos la definición combinatoria de invariante de tipo finito debido a Goussarov, y (independientemente) a Joan Birman y Xiao-Song Lin . Sea V un nudo invariante. Defina V 1 para que se defina en un nudo con una singularidad transversal.
Considere un nudo K como una incrustación suave de un círculo en. Sea K ' una suave inmersión de un círculo encon una doble punta transversal. Luego
- ,
dónde se obtiene de K resolviendo el punto doble empujando hacia arriba una hebra sobre la otra, y K_- se obtiene de manera similar empujando la hebra opuesta sobre la otra. Podemos hacer esto para mapas con dos puntos dobles transversales, tres puntos dobles transversales, etc., utilizando la relación anterior. Para que V sea de tipo finito significa precisamente que debe haber un entero positivo m tal que V desaparezca en mapas con puntas dobles transversales.
Además, tenga en cuenta que existe la noción de equivalencia de nudos con singularidades que son puntos dobles transversales y V debe respetar esta equivalencia. También existe una noción de invariante de tipo finito para 3 variedades .
Ejemplos de
El invariante de nudos de Vassiliev no trivial más simple viene dado por el coeficiente del término cuadrático del polinomio de Alexander-Conway . Es un invariante de orden dos. Módulo dos, es igual al invariante Arf .
Cualquier coeficiente del invariante de Kontsevich es un invariante de tipo finito.
Los invariantes de Milnor son invariantes de tipo finito de enlaces de cadena . [1]
Representación de invariantes
Michael Polyak y Oleg Viro dieron una descripción de los primeros invariantes no triviales de órdenes 2 y 3 por medio de representaciones del diagrama de Gauss . Mikhail N. Goussarov ha demostrado que todos los invariantes de Vassiliev pueden representarse de esa manera.
El invariante universal de Vassiliev
En 1993, Maxim Kontsevich demostró el siguiente teorema importante sobre los invariantes de Vassiliev: para cada nudo se puede calcular una integral, ahora llamada integral de Kontsevich , que es un invariante de Vassiliev universal , lo que significa que cada invariante de Vassiliev puede obtenerse de él mediante una evaluación apropiada. . En la actualidad no se sabe si la integral de Kontsevich, o la totalidad de los invariantes de Vassiliev, es un invariante de nudo completo . El cálculo de la integral de Kontsevich, que tiene valores en un álgebra de diagramas de acordes, resulta bastante difícil y se ha realizado solo para unas pocas clases de nudos hasta ahora. No existe un invariante de tipo finito de grado menor que 11 que distinga los nudos mutantes . [2]
Ver también
Referencias
- ^ Habegger, Nathan; Masbaum, Gregor (2000), "La integral de Kontsevich y los invariantes de Milnor", Topología , 39 (6): 1253-1289, doi : 10.1016 / S0040-9383 (99) 00041-5 , preimpresión .CS1 maint: posdata ( enlace )
- ^ Murakami, Jun. "Invariantes de tipo finito que detectan los nudos mutantes" (PDF) .
Otras lecturas
- Victor A. Vassiliev , Cohomología de espacios de nudos. Teoría de las singularidades y sus aplicaciones, 23–69, Adv. Matemáticas soviéticas., 1, Sociedad Matemática Estadounidense , Providence, RI, 1990.
- Joan Birman y Xiao-Song Lin, polinomios de nudos e invariantes de Vassiliev. Inventiones Mathematicae , 111, 225–270 (1993)
- Bar-Natan, Dror (1995). "Sobre las invariantes del nudo de Vassiliev" . Topología . 34 (2): 423–472. doi : 10.1016 / 0040-9383 (95) 93237-2 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Vassiliev Invariant" . MathWorld .
- " Invariantes de tipo finito (Vassiliev) ", The Knot Atlas .