Invariante de Kontsevich

En la teoría matemática de los nudos , el invariante de Kontsevich , también conocido como integral de Kontsevich ^[1] de un enlace enmarcado orientado , es un invariante de Vassiliev universal ^[2] en el sentido de que cualquier coeficiente del invariante de Kontsevich es de tipo finito , ya la inversa, cualquier invariante de tipo finito puede presentarse como una combinación lineal de tales coeficientes. Fue definido por Maxim Kontsevich .

El invariante de Kontsevich es un invariante cuántico universal en el sentido de que cualquier invariante cuántico puede recuperarse sustituyendo el sistema de pesos apropiado en cualquier diagrama de Jacobi .

Definición

El invariante de Kontsevich se define por monodromía a lo largo de las soluciones de las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov .

Diagrama de Jacobi y diagrama de acordes

Definición

un ejemplo de un diagrama de Jacobi

Sea X un círculo (que es una variedad unidimensional). Como se muestra en la figura de la derecha, un diagrama de Jacobi con orden n es el gráfico con 2 n vértices, con el círculo externo representado como círculo de línea continua y con líneas discontinuas llamadas gráfico interno, que satisface las siguientes condiciones:

1. La orientación se da solo al círculo externo.
2. Los vértices tienen valores 1 o 3. Los 3 vértices valorados están conectados a uno de los otros bordes con la dirección en sentido horario o antihorario representado como el pequeño círculo dirigido. Los vértices valorados 1 están conectados al círculo externo sin multiplicidad, ordenados por la orientación del círculo.

Los bordes de G se llaman acordes . Denotamos como A ( X ) el espacio cociente del grupo conmutativo generado por todos los diagramas de Jacobi en X dividido por las siguientes relaciones:

(La relación AS) + = 0

(La relación IHX) = -

(La relación STU) = -

(La relación FI) = 0.

Un diagrama sin vértices valorado en 3 se llama diagrama de cuerdas o diagrama de Gauss. Si cada componente conectado de un gráfico G tiene un vértice valorado en 3, entonces podemos convertir el diagrama de Jacobi en un diagrama de acordes usando la relación STU de forma recursiva. Si nos limitamos solo a los diagramas de acordes, las cuatro relaciones anteriores se reducen a las dos relaciones siguientes:

(La relación de cuatro términos) - + - = 0.

(La relación FI) = 0.

Propiedades

• El grado de un diagrama de Jacobi se define como la mitad de la suma del número de sus vértices con valor 1 y uno con valor 3. Es el número de cuerdas en el diagrama de cuerdas transformadas del diagrama de Jacobi.
• Al igual que para los enredos , los diagramas de Jacobi forman una categoría monoidal con la composición como la compilación de los diagramas de Jacobi a lo largo de la dirección hacia arriba y hacia abajo y el producto tensorial como yuxtaposición de los diagramas de Jacobi.
  • En el caso especial donde X es un intervalo I , A ( X ) será un álgebra conmutativa. Viendo A ( S ¹ ) como el álgebra con multiplicación como sumas conectadas , A ( S ¹ ) es isomorfo a A ( I ) .
• Un diagrama de Jacobi puede verse como una abstracción de las representaciones del álgebra tensorial generada por las álgebras de Lie, lo que nos permite definir algunas operaciones análogas a los coproductos, recuentos y antípodas de las álgebras de Hopf .
• Dado que los invariantes de Vassiliev (o invariantes de tipo finito) están estrechamente relacionados con los diagramas de acordes, se puede construir un nudo singular a partir de un diagrama de acordes G en S ¹ . K _n denota el espacio generado por todos los nudos singulares de grado n , cada G determina un elemento único en K _m / K _{m +1} .

Sistema de peso

Un mapa de los diagramas de Jacobi a los números enteros positivos se llama sistema de ponderación . El mapa extendido al espacio A ( X ) también se llama sistema de peso. Tienen las siguientes propiedades:

• Sea g un álgebra de Lie semisimple y ρ su representación. Obtenemos un sistema de ponderaciones "sustituyendo" el tensor invariante de g en la cuerda de un diagrama de Jacobi y ρ en la variedad X subyacente del diagrama de Jacobi.
  • Podemos ver los vértices con valor 3 del diagrama de Jacobi como el producto de corchetes del álgebra de Lie, las flechas de línea continua como el espacio de representación de ρ y los vértices con valor 1 como la acción del álgebra de Lie.
  • La relación IHX y la relación STU corresponden respectivamente a la identidad de Jacobi y la definición de la representación.

ρ ([ a , b ]) v = ρ ( a ) ρ ( b ) v - ρ ( b ) ρ ( a ) v .

• Los sistemas de ponderación juegan un papel esencial en la demostración de la conjetura de Mervin-Morton, ^[3] que relaciona los polinomios de Alexander con los polinomios de Jones .

Historia

Los diagramas de Jacobi se introdujeron como análogos de los diagramas de Feynman cuando Kontsevich definió invariantes de nudos mediante integrales iteradas en la primera mitad de la década de 1990. ^[2] Representó puntos singulares de nudos singulares mediante cuerdas, es decir , sólo los trató con diagramas de cuerdas. D. Bar-Natan más tarde los formuló como los gráficos valorados de 1 a 3 y estudió sus propiedades algebraicas, y los llamó "diagramas de caracteres chinos" en su artículo. ^[4] Se utilizaron varios términos como diagramas de cuerdas, diagramas de redes o diagramas de Feynman para referirse a ellos, pero se han llamado diagramas de Jacobi desde alrededor del año 2000, porque la relación IHX corresponde a la identidad de Jacobi para las álgebras de Lie .

Podemos interpretarlos desde un punto de vista más general por claspers, que fueron definidos de forma independiente por Goussarov y Kazuo Habiro en la última mitad de la década de 1990.

Referencias

1. Chmutov, Sergei; Duzhi, Sergei (2012). Weisstein, Eric W (ed.). "Kontsevich Integral" . Mathworld . Recurso web Wolfram . Consultado el 4 de diciembre de 2012 .
2. Kontsevich, Maxim (1993). "Invariantes del nudo de Vassiliev" (PDF) . Adv. Matemáticas soviéticas . 16 (2): 137-150.
3. Bar-Natan, D .; Garoufalidis, S. (1996). "Sobre la conjetura de Melvin-Morton-Rozansky". Inventiones Mathematicae . 125 : 103-133. doi : 10.1007 / s002220050070 .
4. Bar-Natan, D. (1995). "Sobre las invariantes del nudo de Vassiliev" . Topología . 34 (2): 423–472. doi : 10.1016 / 0040-9383 (95) 93237-2 .

Bibliografía

• Ohtsuki, Tomotada (2001). Invariantes cuánticos: un estudio de nudos, 3 colectores y sus conjuntos (1ª ed.). Compañía Editorial Científica Mundial. ISBN 9789810246754. OL  9195378M .