Morfismo finito

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En geometría algebraica , un morfismo finito entre dos variedades afines es un mapa regular denso que induce inclusión isomorfa entre sus anillos de coordenadas , de modo que es integral sobre . ^[1] Esta definición se puede extender a las variedades cuasi-proyectivas , tales que una función regular entre variedades cuasi-proyectivas es finita si cualquier punto como tiene un entorno afín V tal que es afín y es una función finita (a la vista de la definición anterior , porque está entre variedades afines). ^[2]${\ estilo de visualización X, Y}$${\displaystyle k\izquierda[Y\derecha]\hookrightarrow k\izquierda[X\derecha]}$${\displaystyle k\izquierda[X\derecha]}$ ${\displaystyle k\izquierda[Y\derecha]}$ ${\displaystyle f\dos puntos X\a Y}$${\ estilo de visualización y\ en Y}$${\displaystyle U=f^{-1}(V)}$${\ estilo de visualización f \ dos puntos U \ a V}$

es un subesquema afín abierto Spec A _i , y la restricción de f a U _i , que induce un homomorfismo de anillos

De hecho, f es finita si y solo si para todo subesquema abierto afín abierto V = Spec B en Y , la imagen inversa de V en X es afín, de la forma Spec A , siendo A un módulo B finitamente generado . ^[4]

Por ejemplo, para cualquier campo k , es un morfismo finito ya que como -módulos. Geométricamente, esto es obviamente finito ya que se trata de una cubierta ramificada de n láminas de la línea afín que degenera en el origen. Por el contrario, la inclusión de A ¹ − 0 en A ¹ no es finita. (De hecho, el anillo polinomial de Laurent k [ y , y ⁻¹ ] no se genera finitamente como un módulo sobre k [ y ].) Esto restringe nuestra intuición geométrica a familias sobreyectivas con fibras finitas.${\displaystyle {\text{Especificación}}(k[t,x]/(x^{n}-t))\to {\text{Especificación}}(k[t])}$${\displaystyle k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n -1}}$${\ estilo de visualización k [t]}$

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