Variedad cuasi-proyectiva
En matemáticas , una variedad cuasi-proyectiva en geometría algebraica es un subconjunto localmente cerrado de una variedad proyectiva , es decir, la intersección dentro de algún espacio proyectivo de un subconjunto Zariski-abierto y Zariski-cerrado . Una definición similar se utiliza en la teoría de esquemas , donde un esquema cuasi-proyectivo es un subesquema localmente cerrado de algún espacio proyectivo . [1]
Un espacio afín es un subconjunto abierto de Zariski de un espacio proyectivo , y dado que cualquier subconjunto afín cerrado puede expresarse como una intersección de la terminación proyectiva y el espacio afín incrustado en el espacio proyectivo, esto implica que cualquier variedad afín es cuasiproyectiva. Hay subconjuntos localmente cerrados del espacio proyectivo que no son afines, por lo que cuasi-proyectivo es más general que afín. Tomar el complemento de un solo punto en el espacio proyectivo de dimensión al menos 2 da una variedad cuasi-proyectiva no afín. Este es también un ejemplo de una variedad cuasi-proyectiva que no es afín ni proyectiva.
Dado que las variedades cuasi-proyectivas generalizan tanto las variedades afines como las proyectivas, a veces se las denomina simplemente variedades . Las variedades isomorfas a las variedades algebraicas afines como las variedades cuasi-proyectivas se denominan variedades afines ; de manera similar para las variedades proyectivas. Por ejemplo, el complemento de un punto en la recta afín, es decir, , es isomorfo al conjunto cero del polinomio en el plano afín. Como un conjunto afín no es cerrado ya que cualquier polinomio cero en el complemento debe ser cero en la línea afín. Para otro ejemplo, el complemento de cualquier cónica en espacio proyectivo de dimensión 2 es afín. Las variedades isomorfas a subconjuntos abiertos de variedades afines se denominan cuasi-afines .
Las variedades cuasi-proyectivas son localmente afines en el mismo sentido que una variedad es localmente euclidiana : cada punto de una variedad cuasi-proyectiva tiene una vecindad que es una variedad afín. Esto produce una base de conjuntos afines para la topología de Zariski en una variedad cuasi-proyectiva.