En matemáticas , un polinomio de Laurent (llamado así por Pierre Alphonse Laurent ) en una variable sobre un campo es una combinación lineal de potencias positivas y negativas de la variable con coeficientes en. Los polinomios de Laurent en X forman un anillo denotado[ X , X −1 ]. [1] Se diferencian de los polinomios ordinarios en que pueden tener términos de grado negativo. La construcción de polinomios de Laurent se puede iterar, lo que lleva al anillo de polinomios de Laurent en varias variables. Los polinomios de Laurent son de particular importancia en el estudio de variables complejas .
Definición
Un polinomio de Laurent con coeficientes en un campo es una expresión de la forma
donde X es una variable formal, el índice de suma k es un número entero (no necesariamente positivo) y solo un número finito de coeficientes p k son distintos de cero. Dos polinomios de Laurent son iguales si sus coeficientes son iguales. Dichas expresiones se pueden agregar, multiplicar y devolver a la misma forma reduciendo términos similares. Las fórmulas para la suma y la multiplicación son exactamente las mismas que para los polinomios ordinarios, con la única diferencia de que pueden estar presentes potencias tanto positivas como negativas de X :
y
Dado que solo un número finito de coeficientes a i y b j son distintos de cero, todas las sumas en efecto tienen solo un número finito de términos y, por lo tanto, representan polinomios de Laurent.
Propiedades
- Un polinomio de Laurent sobre C puede verse como una serie de Laurent en la que solo un número finito de coeficientes son distintos de cero.
- El anillo de polinomios de Laurent R [ X , X −1 ] es una extensión del anillo polinomial R [ X ] obtenido "invirtiendo X ". Más rigurosamente, es la localización de la anillo polinómico en el conjunto multiplicativo que consiste en los poderes no negativos de X . Muchas propiedades del anillo polinomial de Laurent se derivan de las propiedades generales de localización.
- El anillo de los polinomios de Laurent es un subanillo de las funciones racionales .
- El anillo de polinomios de Laurent sobre un campo es noetheriano (pero no artiniano ).
- Si R es un dominio integral, las unidades del anillo polinomial de Laurent R [ X , X −1 ] tienen la forma uX k , donde u es una unidad de R y k es un número entero. En particular, si K es un campo, entonces las unidades de K [ X , X −1 ] tienen la forma aX k , donde a es un elemento de K distinto de cero .
- La Laurent polinomio anillo R [ X , X -1 ] es isomorfo al anillo de grupo del grupo Z de números enteros más de R . De manera más general, el anillo polinomial de Laurent en n variables es isomorfo al anillo de grupo del grupo abeliano libre de rango n . De ello se deduce que el anillo polinomial de Laurent puede estar dotado de una estructura de álgebra de Hopf conmutativa y coconmutativa .
Ver también
Referencias
- Lang, Serge (2002), Álgebra, Textos de posgrado en matemáticas, 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556