Los flujos inestables se caracterizan como flujos en los que las propiedades del fluido dependen del tiempo. Se refleja en las ecuaciones que gobiernan ya que la derivada temporal de las propiedades está ausente. Para estudiar el método de volumen finito para flujo inestable, existen algunas ecuaciones que lo gobiernan [1] >
Equación gobernante
La ecuación de conservación para el transporte de un escalar en flujo inestable tiene la forma general como [2]
es densidad y es una forma conservadora de todo el flujo de fluido,
es el coeficiente de difusión y es el término fuente. es la tasa neta de flujo de sin elemento fluido ( convección ),
es Tasa de aumento de debido a la difusión ,
es Tasa de aumento de debido a las fuentes.
es Tasa de aumento de de elemento fluido (transitorio),
El primer término de la ecuación refleja la inestabilidad del flujo y está ausente en el caso de flujos estables. La integración de volumen finito de la ecuación gobernante se lleva a cabo sobre un volumen de control y también sobre un paso de tiempo finito ∆t.
La integración del volumen de control de la parte estable de la ecuación es similar a la integración de la ecuación que gobierna el estado estable . Necesitamos enfocarnos en la integración del componente inestable de la ecuación. Para tener una idea de la técnica de integración, nos referimos a la ecuación de conducción de calor inestable unidimensional . [3]
Ahora, si se asume que la temperatura en el nodo prevalece en todo el volumen de control, el lado izquierdo de la ecuación se puede escribir como [4]
Al usar un esquema de diferenciación hacia atrás de primer orden , podemos escribir el lado derecho de la ecuación como
Ahora para evaluar el lado derecho de la ecuación usamos un parámetro de ponderación entre 0 y 1, y escribimos la integración de
Ahora, la forma exacta de la ecuación discretizada final depende del valor de . Como la varianza de es 0 < <1, el esquema que se utilizará para calcular depende del valor de la
Diferentes esquemas
1. Esquema explícito En el esquema explícito, el término fuente se linealiza como. Nosotros sustituimospara obtener la discretización explícita, es decir: [5]
dónde . Una cosa que vale la pena señalar es que el lado derecho contiene valores en el paso de tiempo anterior y, por lo tanto, el lado izquierdo se puede calcular haciendo coincidir hacia adelante en el tiempo. El esquema se basa en la diferenciación hacia atrás y su error de truncamiento de la serie de Taylor es de primer orden con respecto al tiempo. Todos los coeficientes deben ser positivos. Para k constante y espaciado uniforme de la cuadrícula, esta condición puede escribirse como
Esta desigualdad establece una condición estricta sobre el intervalo de tiempo máximo que se puede utilizar y representa una seria limitación para el esquema. Resulta muy costoso mejorar la precisión espacial porque el paso de tiempo máximo posible debe reducirse a medida que el cuadrado de [6]
2. Esquema de manivela Nicholson : el esquema de manivela Nicholson resulta del ajuste. La ecuación discretizada de conducción de calor inestable se convierte en
Dónde
Dado que en la ecuación está presente más de un valor desconocido de T en el nuevo nivel de tiempo, el método es implícito y las ecuaciones simultáneas para todos los puntos de nodo deben resolverse en cada paso de tiempo. Aunque esquemas conincluido el esquema de Crank-Nicolson, son incondicionalmente estables para todos los valores del paso de tiempo, es más importante asegurarse de que todos los coeficientes sean positivos para obtener resultados físicamente realistas y acotados. Este es el caso si el coeficiente de satisface la siguiente condición
lo que lleva a
la manivela Nicholson se basa en la diferenciación central y, por lo tanto, tiene una precisión de segundo orden en el tiempo. La precisión general de un cálculo depende también de la práctica de diferenciación espacial, por lo que el esquema de Crank-Nicolson se usa normalmente junto con la diferenciación central espacial
3. Esquema completamente implícito cuando el valor de Ѳ se establece en 1 obtenemos el esquema completamente implícito. La ecuación discretizada es: [7]
Ambos lados de la ecuación contienen temperaturas en el nuevo paso de tiempo y se debe resolver un sistema de ecuaciones algebraicas en cada nivel de tiempo. El procedimiento de marcha en el tiempo comienza con un campo inicial de temperaturas dado.. El sistema de ecuaciones se resuelve después de seleccionar el paso de tiempo.. Siguiente la solución está asignado a y se repite el procedimiento para hacer avanzar la solución en un paso de tiempo adicional. Puede verse que todos los coeficientes son positivos, lo que hace que el esquema implícito sea incondicionalmente estable para cualquier tamaño de intervalo de tiempo. Dado que la precisión del esquema es solo de primer orden en el tiempo, se necesitan pequeños pasos para garantizar la precisión de los resultados. El método implícito se recomienda para cálculos transitorios de propósito general debido a su robustez y estabilidad incondicional.
Referencias
- ^ https://books.google.com/books+finite+volume+method+for+unstaady+flows . Consultado el 10 de noviembre de 2013 . Falta o está vacío
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( ayuda ) [ enlace muerto ] - ^ Una introducción a la dinámica de fluidos computacional HK Versteeg y W Malalasekra Capítulo 8 página 168
- ^ Una introducción a la dinámica de fluidos reconstitucionales HK Versteeg y W Malalasekera Capítulo 8 página 169
- ^ Kim, Dongjoo; Choi, Haecheon (10 de agosto de 2000). "Un método de volumen finito preciso en el tiempo de segundo orden para flujo incompresible inestable en redes híbridas no estructuradas". Revista de Física Computacional . 162 (2): 411–428. Código bibliográfico : 2000JCoPh.162..411K . doi : 10.1006 / jcph.2000.6546 .
- ^ Una introducción a la dinámica de fluidos computacional HK Versteeg y W Malalasekera Capítulo 8 página 171
- ^ http://opencourses.emu.edu.tr/mod/resource/view.php?id=489 tema 7
- ^ http://opencourses.emu.edu.tr/course/view.php?id=27〈=en tema 7