En topología , el grado de un mapeo continuo entre dos colectores orientados compactos de la misma dimensión es un número que representa el número de veces que el colector de dominio envuelve el colector de rango bajo el mapeo. El grado es siempre un número entero , pero puede ser positivo o negativo según las orientaciones.
El grado de un mapa fue definido por primera vez por Brouwer , [1] quien demostró que el grado es invariante de homotopía ( invariante entre homotopías), y lo usó para probar el teorema del punto fijo de Brouwer . En las matemáticas modernas, el grado de un mapa juega un papel importante en la topología y la geometría . En física , el grado de un mapa continuo (por ejemplo, un mapa del espacio a algún conjunto de parámetros de orden) es un ejemplo de un número cuántico topológico .
Definiciones de la titulación
De S n a S n
El caso más simple e importante es el grado de un mapa continuo desde el-esfera a sí mismo (en el caso , esto se llama número de bobinado ):
Dejar ser un mapa continuo. Luego induce un homomorfismo , dónde es el th grupo de homología . Considerando el hecho de que, vemos eso debe ser de la forma para algunos arreglados . Esto entonces se llama el grado de .
Entre colectores
Topología algebraica
Sean X e Y variedades cerradas conectadas orientadas m -dimensionales . Orientabilidad de un colector implica que su parte superior grupo homología es isomorfo a Z . Elegir una orientación significa elegir un generador del grupo de homología superior.
Un mapa continuo f : X → Y induce un homomorfismo f * de H m ( X ) a H m ( Y ). Sea [ X ], resp. [ Y ] sea el generador elegido de H m ( X ), resp. H m ( Y ) (o la clase fundamental de X , Y ). Entonces, el grado de f se define como f * ([ X ]). En otras palabras,
Si y en Y y f −1 ( y ) es un conjunto finito, el grado de f puede calcularse considerando los m -ésimos grupos de homología local de X en cada punto de f −1 ( y ).
Topología diferencial
En el lenguaje de la topología diferencial, el grado de un mapa suave se puede definir de la siguiente manera: si f es un mapa suave cuyo dominio es una variedad compacta yp es un valor regular de f , considere el conjunto finito
Por p siendo un valor regular, en una zona de cada x Se i el mapa f es un local de difeomorfismo (es un mapa que cubre ). Los difeomorfismos pueden conservar la orientación o invertir la orientación. Sea r el número de puntos x i en los que f mantiene la orientación y s el número en el que f se invierte la orientación. Cuando el dominio de f está conectado, el número r - s es independiente de la elección de p (¡aunque n no lo es!) Y se define el grado de f como r - s . Esta definición coincide con la definición topológica algebraica anterior.
La misma definición que funciona para variedades compactas con límites pero entonces f debe enviar el límite de X hasta el límite de Y .
También se puede definir el grado módulo 2 (grado 2 ( f )) de la misma manera que antes, pero tomando la clase fundamental en la homología Z 2 . En este caso, el grado 2 ( f ) es un elemento de Z 2 (el campo con dos elementos ), los colectores no necesitan ser orientables y si n es el número de preimágenes de p como antes, entonces el grado 2 ( f ) es n módulo 2 .
La integración de formas diferenciales da un emparejamiento entre la homología singular (C ∞ -) y la cohomología de De Rham :, dónde es una clase de homología representada por un ciclo y una forma cerrada que representa una clase de cohomología de De Rham. Para un mapa uniforme f : X → Y entre múltiples m orientables , uno tiene
donde f * y f * son mapas inducidos en cadenas y formas, respectivamente. Dado que f * [ X ] = grados f · [ Y ], tenemos
para cualquier m -form ω en Y .
Mapas de región cerrada
Si es una región delimitada , liso, un valor regular de y , luego el grado está definido por la fórmula
dónde es la matriz de Jacobi de en . Esta definición del grado puede extenderse naturalmente a valores no regulares. tal que dónde es un punto cercano a .
El título satisface las siguientes propiedades: [2]
- Si , entonces existe tal que .
- para todos .
- Propiedad de descomposición:
- , Si son partes inconexas de y .
- Invarianza de homotopía : Si y son homotopía equivalente a través de una homotopía tal que y , luego
- La función es localmente constante en
Estas propiedades caracterizan el grado de manera única y el grado puede ser definido por ellas de una manera axiomática.
De manera similar, podríamos definir el grado de un mapa entre variedades orientadas compactas con límite .
Propiedades
El grado de un mapa es invariante de homotopía ; Además, para mapas continuos desde la esfera hasta sí misma, es una homotopía invariante completa , es decir, dos mapas. son homotópicos si y solo si .
En otras palabras, el grado es un isomorfismo entre y .
Además, el teorema de Hopf establece que para cualquier- colector orientado cerrado dimensional M , dos mapas son homotópicos si y solo si
Un automapa de la n- esfera es extensible a un mapade la n- bola a la n- esfera si y solo si. (Aquí la función F extiende f en el sentido de que f es la restricción de F a.)
Calculando el grado
Existe un algoritmo para calcular el grado topológico deg ( f , B , 0) de una función continua f desde una caja n- dimensional B (un producto de n intervalos) a, donde f se da en forma de expresiones aritméticas. [3] Una implementación del algoritmo está disponible en TopDeg , una herramienta de software para calcular el título (LGPL-3).
Ver también
- Número de cobertura , un término de nombre similar. Tenga en cuenta que no generaliza el número de bobinado, sino que describe las cubiertas de un juego por bolas.
- Densidad (politopo) , un análogo poliédrico
- Teoría del grado topológico
Notas
- ^ Brouwer, LEJ (1911). "Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten" . Mathematische Annalen . 71 (1): 97-115. doi : 10.1007 / bf01456931 . S2CID 177796823 .
- ^ Bailarina, EN (2000). Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales . Springer-Verlag. págs. 185–225. ISBN 3-540-64803-8.
- ^ Franek, Peter; Ratschan, Stefan (2015). "Cálculo de grado topológico efectivo basado en aritmética de intervalos". Matemáticas de la Computación . 84 (293): 1265-1290. doi : 10.1090 / S0025-5718-2014-02877-9 . ISSN 0025-5718 . S2CID 17291092 .
Referencias
- Flanders, H. (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Dover.
- Hirsch, M. (1976). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.
- Milnor, JW (1997). Topología desde el punto de vista diferenciable . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-04833-8.
- Outerelo, E .; Ruiz, JM (2009). Teoría del grado de mapeo . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4915-6.
enlaces externos
- "Grado Brouwer" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Conozcamos el título de cartografía , de Rade T. Zivaljevic.