La teoría de Nielsen es una rama de la investigación matemática con sus orígenes en la teoría topológica del punto fijo . Sus ideas centrales fueron desarrolladas por el matemático danés Jakob Nielsen y llevan su nombre.
La teoría desarrollada en el estudio del llamado número mínimo de un mapa f desde un espacio compacto a sí mismo, denotado MF [ f ]. Esto se define como:
donde ~ indica homotopía de mapeos, y #Fix ( g ) indica el número de puntos fijos de g . El número mínimo era muy difícil de calcular en la época de Nielsen, y lo sigue siendo hoy. El enfoque de Nielsen es agrupar el conjunto de puntos fijos en clases, que se juzgan "esenciales" o "no esenciales" según si pueden o no ser "removidos" por una homotopía.
La formulación original de Nielsen es equivalente a la siguiente: Definimos una relación de equivalencia en el conjunto de puntos fijos de un auto-mapa f en un espacio X . Decimos que x es equivalente a y si y sólo si existe una ruta C de x a y con f ( c ) homotópico a c como rutas. Las clases de equivalencia con respecto a esta relación se denominan clases de Nielsen de f , y el número de Nielsen N ( f ) se define como el número de clases de Nielsen que tienen una suma de índice de punto fijo distinta de cero .
Nielsen demostró que
haciendo de su invariante una buena herramienta para estimar el MF mucho más difícil [ f ]. Esto conduce inmediatamente a lo que ahora se conoce como el teorema del punto fijo de Nielsen: cualquier mapa f tiene al menos N (f) puntos fijos.
Debido a su definición en términos del índice de punto fijo , el número de Nielsen está estrechamente relacionado con el número de Lefschetz . De hecho, poco después del trabajo inicial de Nielsen, Wecken y Reidemeister combinaron los dos invariantes en un solo "número de Lefschetz generalizado" (más recientemente llamado el rastro de Reidemeister ) .
Bibliografía
- Fenchel, Werner ; Nielsen, Jakob (2003). Asmus L. Schmidt (ed.). Grupos discontinuos de isometrías en el plano hiperbólico . Estudios de De Gruyter en matemáticas. 29 . Berlín: Walter de Gruyter & Co.
enlaces externos
- Artículo de encuesta sobre la teoría de Nielsen de Robert F.Brown en Topology Atlas