En álgebra , un módulo plano sobre un anillo R es un módulo R - M tal que tomar el producto tensorial sobre R con M conserva secuencias exactas . Un módulo es fielmente plano si tomar el producto tensorial con una secuencia produce una secuencia exacta si y solo si la secuencia original es exacta.
La planitud fue introducida por Jean-Pierre Serre ( 1956 ) en su artículo Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique . Véase también morfismo plano .
Un módulo M sobre un anillo R es plano si se cumple la siguiente condición: para cada mapa lineal inyectivo de módulos R , el mapa
también es inyectiva, donde es el mapa inducido por
Para esta definición, es suficiente restringir las inyecciones a las inclusiones de ideales generados finitamente en R.
De manera equivalente, un módulo R M es plano si el producto tensorial con M es un funtor exacto ; es decir, si, para cada breve secuencia exacta de módulos R , la secuencia también es exacta. (Esta es una definición equivalente ya que el producto tensorial es un funtor exacto derecho ).