En matemáticas , y más específicamente en álgebra homológica , una resolución (o resolución por la izquierda ; dualmente coresolución o resolución por la derecha [1] ) es una secuencia exacta de módulos (o, más generalmente, de objetos de una categoría abeliana ), que se utiliza para definir invariantes que caracterizan la estructura de un módulo u objeto específico de esta categoría. Cuando, como es habitual, las flechas están orientadas hacia la derecha, se supone que la secuencia es infinita hacia la izquierda para las resoluciones (izquierda) y hacia la derecha para las resoluciones correctas. Sin embargo, unla resolución finita es aquella en la que solo un número finito de objetos en la secuencia son distintos de cero ; por lo general, se representa mediante una secuencia exacta finita en la que el objeto más a la izquierda (para resoluciones) o el objeto más a la derecha (para coresoluciones) es el objeto cero . [2]
Generalmente, los objetos en la secuencia están restringidos a tener alguna propiedad P (por ejemplo, ser libres). Así se habla de una resolución P. En particular, cada módulo tiene resoluciones libres , resoluciones proyectivas y resoluciones planas , de las cuales quedan resoluciones compuestas, respectivamente, de módulos libres , módulos proyectivos o módulos planos . De manera similar, cada módulo tiene resoluciones inyectivas , que son resoluciones correctas que consisten en módulos inyectivos .
Dado un módulo M sobre un anillo R , una resolución izquierda (o simplemente resolución ) de M es una secuencia exacta (posiblemente infinita) de módulos R
Los homomorfismos d i se denominan mapas de límites. El mapa ε se llama mapa de aumento . Para abreviar, la resolución anterior se puede escribir como
La noción dual es la de una resolución de derecho (o co -resolución , o simplemente resolución ). Específicamente, dado un módulo M sobre un anillo R , una resolución correcta es una secuencia exacta posiblemente infinita de módulos R
donde cada C i es un módulo R (es común usar superíndices en los objetos en la resolución y los mapas entre ellos para indicar la naturaleza dual de dicha resolución). Para abreviar, la resolución anterior se puede escribir como