En matemáticas , una categoría abeliana es una categoría en la que se pueden agregar morfismos y objetos y en la que existen granos y cokernels y tienen propiedades deseables. El ejemplo prototípico motivador de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos , Ab . La teoría se originó en un esfuerzo por unificar varias teorías de cohomología de Alexander Grothendieck e independientemente en el trabajo ligeramente anterior de David Buchsbaum . Las categorías abelianas son categorías muy estables ; por ejemplo ellos sonregulares y satisfacen el lema de la serpiente . La clase de categorías abelianas está cerrada bajo varias construcciones categóricas, por ejemplo, la categoría de complejos de cadena de una categoría abeliana, o la categoría de functores de una categoría pequeña a una categoría abeliana también son abelianas. Estas propiedades de estabilidad las hacen inevitables en el álgebra homológica y más allá; la teoría tiene aplicaciones importantes en geometría algebraica , cohomología y teoría de categorías puras . Las categorías abelianas llevan el nombre de Niels Henrik Abel .
Definiciones
Una categoría es abeliana si es preaditiva y
- tiene un objeto cero ,
- tiene todos los biproductos binarios ,
- tiene todos los granos y cokernels , y
- todos los monomorfismos y epimorfismos son normales .
Esta definición es equivalente [1] a la siguiente definición "fragmentada":
- Una categoría es preaditiva si se enriquece sobre la categoría monoidal Ab de los grupos abelianos . Esto significa que todos los hom-sets son grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilineal .
- Una categoría preaditiva es aditiva si cada conjunto finito de objetos tiene un biproducto . Esto significa que podemos formar sumas directas finitas y productos directos . En [2] Def. 1.2.6, se requiere que una categoría aditiva tenga un objeto cero (biproducto vacío).
- Una categoría aditiva es preabeliana si cada morfismo tiene tanto un núcleo como un cokernel .
- Finalmente, una categoría preabeliana es abeliana si todo monomorfismo y todo epimorfismo es normal . Esto significa que todo monomorfismo es un núcleo de algún morfismo, y todo epimorfismo es un núcleo de algún morfismo.
Tenga en cuenta que la estructura enriquecida en hom-sets es una consecuencia de los primeros tres axiomas de la primera definición. Esto resalta la relevancia fundamental de la categoría de grupos abelianos en la teoría y su naturaleza canónica.
El concepto de secuencia exacta surge naturalmente en este escenario, y resulta que los functores exactos , es decir, los functores que preservan secuencias exactas en varios sentidos, son los functores relevantes entre categorías abelianas. Este concepto de exactitud ha sido axiomatizado en la teoría de categorías exactas , formando un caso muy especial de categorías regulares .
Ejemplos de
- Como se mencionó anteriormente, la categoría de todos los grupos abelianos es una categoría abeliana. La categoría de todos los grupos abelianos generados finitamente es también una categoría abeliana, al igual que la categoría de todos los grupos abelianos finitos.
- Si R es un anillo , entonces la categoría de todos los módulos izquierdos (o derechos) sobre R es una categoría abeliana. De hecho, se puede demostrar que cualquier categoría abeliana pequeña es equivalente a una subcategoría completa de dicha categoría de módulos ( teorema de inclusión de Mitchell ).
- Si R es un anillo noetheriano izquierdo , entonces la categoría de módulos izquierdos generados finitamente sobre R es abeliano. En particular, la categoría de módulos generados finitamente sobre un anillo conmutativo noetheriano es abeliana; de esta manera, las categorías abelianas aparecen en el álgebra conmutativa .
- Como casos especiales de los dos ejemplos anteriores: la categoría de espacios vectoriales sobre un campo fijo k es abeliana, al igual que la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre k .
- Si X es un espacio topológico , entonces la categoría de todos los paquetes de vectores (reales o complejos) en X no suele ser una categoría abeliana, ya que puede haber monomorfismos que no sean núcleos.
- Si X es un espacio topológico , entonces la categoría de todas las gavillas de grupos abelianos en X es una categoría abeliana. De manera más general, la categoría de gavillas de grupos abelianos en un sitio de Grothendieck es una categoría abeliana. De esta manera, las categorías abelianas aparecen en la topología algebraica y la geometría algebraica .
- Si C es una categoría pequeña y A es una categoría abeliana, entonces la categoría de todos los functores de C a A forma una categoría abeliana. Si C es pequeño y preaditivo , entonces la categoría de todos los functores aditivos de C a A también forma una categoría abeliana. Este último es una generalización del ejemplo del módulo R , ya que un anillo puede entenderse como una categoría preaditiva con un solo objeto.
Axiomas de Grothendieck
En su artículo de Tōhoku , Grothendieck enumeró cuatro axiomas adicionales (y sus duales) que una categoría A abeliana podría satisfacer. Estos axiomas todavía son de uso común hasta el día de hoy. Son los siguientes:
- AB3) Para cada familia indexada ( A i ) de objetos de A , el coproducto * A i existe en A (es decir, A es cocompleto ).
- AB4) A satisface AB3), y el coproducto de una familia de monomorfismos es un monomorfismo.
- AB5) A satisface AB3), y los colimites filtrados de secuencias exactas son exactos.
y sus duales
- AB3 *) Para cada familia indexada ( A i ) de objetos de A , el producto P A i existe en A (es decir, A es completo ).
- AB4 *) A satisface AB3 *), y el producto de una familia de epimorfismos es un epimorfismo.
- AB5 *) A satisface AB3 *), y los límites filtrados de secuencias exactas son exactos.
También se dieron los axiomas AB1) y AB2). Son los que hacen que una categoría aditiva sea abeliana. Específicamente:
- AB1) Todo morfismo tiene un núcleo y un cokernel.
- AB2) Para cada morfismo f , el morfismo canónico de coim f a im f es un isomorfismo .
Grothendieck también dio los axiomas AB6) y AB6 *).
- AB6) A satisface AB3), y dada una familia de categorías filtradas y mapas , tenemos , donde lim denota el colimit filtrado.
- AB6 *) A satisface AB3 *), y dada una familia de categorías cofiltradas y mapas , tenemos , donde lim denota el límite cofiltrado.
Propiedades elementales
Dado cualquier par A , B de los objetos en una categoría abeliana, hay un especial morfismo cero de A a B . Esto se puede definir como el elemento cero del hom-set Hom ( A , B ), ya que es un grupo abeliano. Alternativamente, se puede definir como la composición única A → 0 → B , donde 0 es el objeto cero de la categoría abeliana.
En una categoría abeliana, todo morfismo f puede escribirse como la composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo. Este epimorfismo se denomina coimagen de f , mientras que el monomorfismo se denomina imagen de f .
Los subobjetos y los objetos cocientes se comportan bien en categorías abelianas. Por ejemplo, el conjunto de subobjetos de cualquier objeto A dado es un enrejado acotado .
Cada categoría abeliana A es un módulo sobre la categoría monoidal de grupos abelianos generados finitamente; Es decir, se puede formar un producto tensorial de un grupo abeliano finitamente generado G y cualquier objeto A de A . La categoría abeliana también es un comódulo ; Hom ( G , A ) puede interpretarse como un objeto de A . Si A está completo , podemos eliminar el requisito de que G se genere de forma finita; más generalmente, podemos formar finitistas límites enriquecidos en A .
Conceptos relacionados
Las categorías abelianas son el escenario más general para el álgebra homológica . Todas las construcciones utilizadas en ese campo son relevantes, como las secuencias exactas y, especialmente, las secuencias exactas cortas y los functores derivados . Los teoremas importantes que se aplican en todas las categorías abelianas incluyen el lema de los cinco (y el lema corto de los cinco como un caso especial), así como el lema de la serpiente (y el lema de los nueve como un caso especial).
Categorías abelianas semi-simples
Una categoría abeliana se llama semi-simple si hay una colección de objetosllamados objetos simples (es decir, los únicos subobjetos de cualquier son el objeto cero y sí mismo) tal que un objeto se puede descomponer como una suma directa (que denota el coproducto de la categoría abeliana)
Esta condición técnica es bastante fuerte y excluye muchos ejemplos naturales de categorías abelianas que se encuentran en la naturaleza. Por ejemplo, la mayoría de las categorías de módulos sobre un anillono son semi-simples; de hecho, este es el caso si y solo sies un anillo semisimple .
Ejemplos de
Algunas categorías abelianas que se encuentran en la naturaleza son semi-simples, como
- Categoría de espacios vectoriales sobre un campo fijo
- Según el teorema de Maschke, la categoría de representaciones de un grupo finito sobre un campo cuya característica no divide es una categoría abeliana semi-simple.
- La categoría de poleas coherentes en un esquema noetheriano es semi-simple si y solo sies una unión disjunta finita de puntos irreductibles. Esto es equivalente a un coproducto finito de categorías de espacios vectoriales en diferentes campos. Demostrar que esto es cierto en la dirección de avance equivale a mostrar todosgrupos desaparecen, lo que significa que la dimensión cohomológica es 0. Esto solo ocurre cuando el rascacielos en un punto tener el espacio tangente de Zariski igual a cero, que es isomorfo ausando álgebra local para tal esquema. [3]
No ejemplos
Existen algunos contraejemplos naturales de categorías abelianas que no son semi-simples, como ciertas categorías de representaciones . Por ejemplo, la categoría de representaciones del grupo de Lie tiene la representación
que solo tiene una subrepresentación de dimensión . De hecho, esto es cierto para cualquier grupo unipotente [4] pág . 112 .
Subcategorías de categorías abelianas
Existen numerosos tipos de subcategorías (completas, aditivas) de categorías abelianas que ocurren en la naturaleza, así como también alguna terminología conflictiva.
Sea A una categoría abeliana, C una subcategoría aditiva completa e I el funtor de inclusión.
- C es una subcategoría exacta si es en sí misma una categoría exacta y la inclusión I es un functor exacto . Esto ocurre si y solo si C se cierra bajo retrocesos de epimorfismos y expulsiones de monomorfismos. Las secuencias exactas en C son, pues, las secuencias exactas en A para la que todos los objetos se encuentran en C .
- C es una subcategoría abeliana si es ella misma una categoría abeliana y la inclusión I es un funtor exacto . Esto ocurre si y solo si C está cerrado bajo la toma de núcleos y cokernels. Tenga en cuenta que hay ejemplos de subcategorías completas de una categoría abeliana que son abelianas en sí mismas pero donde el functor de inclusión no es exacto, por lo que no son subcategorías abelianas (ver más abajo).
- C es una subcategoría gruesa si está cerrada tomando sumandos directos y satisface la propiedad 2 de 3 en secuencias cortas y exactas; eso es, sies una breve secuencia exacta en A tal que dos deyace en C , entonces también lo hace el tercero. En otras palabras, C está cerrado bajo núcleos de epimorfismos, cokernels de monomorfismos y extensiones. Tenga en cuenta que P. Gabriel usó el término subcategoría gruesa para describir lo que aquí llamamos una subcategoría de Serre .
- C es una subcategoría de topologización si está cerrada bajo subcuotantes .
- C es una subcategoría de Serre si, para todas las secuencias exactas cortasen A tenemos M en C si y solo si ambosestán en C . En otras palabras, C se cierra bajo extensiones y subquotientes . Estas subcategorías son precisamente los núcleos de los functores exactos de A a otra categoría abeliana.
- C es una subcategoría de localización si es una subcategoría de Serre tal que el cociente functoradmite un adjunto derecho .
- Hay dos nociones en competencia de una amplia subcategoría. Una versión es que C contiene todos los objetos de A (hasta el isomorfismo); para una subcategoría completa, esto obviamente no es interesante. (Esto también se llama subcategoría lluf ). La otra versión es que C está cerrado bajo extensiones.
A continuación se muestra un ejemplo explícito de una subcategoría aditiva completa de una categoría abeliana que es abeliana en sí misma, pero el functor de inclusión no es exacto. Sea k un campo, el álgebra de triangular superior matrices sobre k , y la categoría de dimensión finita -módulos. Entonces cada es una categoría abeliana y tenemos un functor de inclusión identificar los módulos proyectivo simple, inyectivo simple y proyectivo-inyectivo indecomponible. La imagen esencial de I es una subcategoría completa y aditiva, pero I no es exacta.
Historia
Las categorías abelianas fueron introducidas por Buchsbaum (1955) (bajo el nombre de "categoría exacta") y Grothendieck (1957) para unificar varias teorías de cohomología. En ese momento, existía una teoría de cohomología para gavillas y una teoría de cohomología para grupos . Los dos se definieron de manera diferente, pero tenían propiedades similares. De hecho, gran parte de la teoría de categorías se desarrolló como un lenguaje para estudiar estas similitudes. Grothendieck unificó las dos teorías: ambas surgen como functores derivados de categorías abelianas; la categoría abeliana de haces de grupos abelianos en un espacio topológico, y la categoría abeliana de módulos G para un grupo G dado .
Ver también
- Categoría triangulada
Referencias
- ^ Peter Freyd, Categorías abelianas
- ^ Manual de álgebra categórica, vol. 2, F. Borceux
- ^ "geometría algebraica - espacio tangente en un punto y primer grupo de extensión" . Intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 23 de agosto de 2020 .
- ^ Humphreys, James E. (2004). Grupos algebraicos lineales . Saltador. ISBN 0-387-90108-6. OCLC 77625833 .
- Buchsbaum, David A. (1955), "Categorías exactas y dualidad", Transactions of the American Mathematical Society , 80 (1): 1–34, doi : 10.1090 / S0002-9947-1955-0074407-6 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993003 , MR 0074407
- Freyd, Peter (1964), Abelian Categories , Nueva York: Harper y Row
- Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique" , Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 : 119–221, doi : 10.2748 / tmj / 1178244839 , ISSN 0040-8735 , MR 0102537
- Mitchell, Barry (1965), Teoría de Categorías , Boston, MA: Academic Press
- Popescu, Nicolae (1973), categorías abelianas con aplicaciones a anillos y módulos , Boston, MA: Academic Press