En matemáticas , un módulo libre es un módulo que tiene una base , es decir, un grupo electrógeno que consta de elementos linealmente independientes . Todo espacio vectorial es un módulo libre, [1] pero, si el anillo de los coeficientes no es un anillo de división (no es un campo en el caso conmutativo ), entonces existen módulos no libres.
Dado cualquier conjunto S y el anillo R , hay un libre R -módulo con base S , que se llama el módulo libre en S o módulo de formal de R - combinaciones lineales de los elementos de S .
Un grupo abeliano libre es precisamente un módulo libre sobre el anillo Z de enteros .
Definición
Por un anillo y un - módulo , el conjunto es una base para Si:
- es un grupo electrógeno para; es decir, cada elemento de es una suma finita de elementos de multiplicado por coeficientes en ; y
- es linealmente independiente , es decir, para cada subconjunto de distintos elementos de , implica que (dónde es el elemento cero de y es el elemento cero de ).
Un módulo gratuito es un módulo con una base. [2]
Una consecuencia inmediata de la segunda mitad de la definición es que los coeficientes de la primera mitad son únicos para cada elemento de M .
Si tiene un número de base invariante , entonces, por definición, dos bases cualesquiera tienen la misma cardinalidad. Por ejemplo, los anillos conmutativos distintos de cero tienen un número base invariante. La cardinalidad de cualquier base (y por tanto de todas) se denomina rango del módulo gratuito. Si esta cardinalidad es finita, se dice que el módulo libre está libre de rango finito , o libre de rango n si se sabe que el rango es n .
Ejemplos de
Sea R un anillo.
- R es un módulo gratuito de rango uno sobre sí mismo (ya sea como módulo izquierdo o derecho); cualquier elemento unitario es una base.
- De manera más general, si R es conmutativo, un ideal distinto de cero I de R es libre si y solo si es un ideal principal generado por un no-divisor, con un generador como base. [3]
- Si R es conmutativo, el anillo polinomialen indeterminado X es un módulo libre con una posible base 1, X , X 2 , ....
- Dejar ser un anillo polinomial sobre un anillo conmutativo A , f un polinomio monico de grado d allí, y la imagen de t en B . Entonces B contiene A como un subanillo y es gratis como un módulo A con una base.
- Para cualquier número entero no negativo n ,, el producto cartesiano de n copias de R como un módulo R izquierdo , es libre. Si R tiene un número base invariante , entonces su rango es n .
- Una suma directa de módulos libres es gratis, mientras que un producto cartesiano infinito de módulos libres generalmente no es gratis (cf. el grupo Baer-Specker ).
- El teorema de Kaplansky establece que un módulo proyectivo sobre un anillo local es gratuito.
Combinaciones lineales formales
Dado un conjunto E y un anillo R , hay un módulo R libre que tiene a E como base: a saber, la suma directa de copias de R indexadas por E
- .
Explícitamente, es el submódulo del producto cartesiano. ( R se considera, por ejemplo, un módulo de la izquierda) que consta de los elementos que tienen solo un número finito de componentes distintos de cero. Se puede incrustar E en R ( E ) como un subconjunto identificando un elemento e con el de R ( E ) cuyo e -ésimo componente es 1 (la unidad de R ) y todos los demás componentes son cero. Entonces, cada elemento de R ( E ) se puede escribir de forma única como
donde solo un número finito son distintos de cero. Se llama una combinación lineal formales de elementos de E .
Un argumento similar muestra que cada módulo R libre izquierdo (o derecho) es isomorfo a una suma directa de copias de R como módulo izquierdo (o derecho).
Otra construccion
El módulo libre R ( E ) también se puede construir de la siguiente manera equivalente.
Dado un anillo R y un conjunto E , primero como conjunto dejamos
Lo equipamos con una estructura de módulo izquierdo tal que la suma se define por: para x en E ,
y la multiplicación escalar por: para r en R y x en E ,
Ahora, como R -valued función de E , cada uno de f en se puede escribir de forma única como
dónde están en R y sólo un número finito de ellos son distintos de cero y se da como
(esta es una variante del delta de Kronecker ). Lo anterior significa que el subconjunto de es una base de . El mapeoes una biyección entre E y esta base. A través de esta biyección,es un módulo libre con la base E .
Propiedad universal
El mapeo de inclusión definido anteriormente es universal en el siguiente sentido. Dada una función arbitrariade un conjunto E a un módulo R izquierdo N , existe un homomorfismo de módulo único tal que ; a saber, está definido por la fórmula:
y se dice que se obtiene extendiendopor linealidad. La singularidad significa que cada mapa lineal Rse determina de forma única por su restricción a E .
Como es habitual para las propiedades universales, esto define R ( E ) hasta un isomorfismo canónico . También la formación depara cada conjunto E determina un funtor
- ,
de la categoría de conjuntos a la categoría de módulos R izquierdos. Se llama functor libre y satisface una relación natural: para cada conjunto E y un módulo izquierdo N ,
dónde es el functor olvidadizo , es decires un adjunto izquierdo del functor olvidadizo.
Generalizaciones
Muchas afirmaciones sobre módulos libres, que son incorrectas para módulos generales sobre anillos, siguen siendo válidas para ciertas generalizaciones de módulos libres. Los módulos proyectivos son sumandos directos de módulos libres, por lo que uno puede elegir una inyección en un módulo libre y usar la base de éste para probar algo para el módulo proyectivo. Incluso las generalizaciones más débiles son los módulos planos , que aún tienen la propiedad de que tensar con ellos preserva secuencias exactas y módulos sin torsión . Si el anillo tiene propiedades especiales, esta jerarquía puede colapsar, por ejemplo, para cualquier anillo de Dedekind local perfecto, cada módulo sin torsión es plano, proyectivo y libre también. Un módulo libre de torsión finamente generado de un PID conmutativo es gratuito. Un módulo Z generado de forma finita es gratuito si y solo si es plano.
Ver anillo local , anillo perfecto y anillo Dedekind .
Ver también
- Objeto libre
- Objeto proyectivo
- presentación gratis
- resolución libre
- Teorema de Quillen-Suslin
- módulo libre estable
- libertad genérica
Notas
- ^ Keown (1975). Introducción a la teoría de la representación de grupos . pag. 24.
- ^ Hazewinkel (1989). Enciclopedia de Matemáticas, Volumen 4 . pag. 110.
- ^ Prueba: Supongamos es gratis con una base . Para, debe tener la combinación lineal única en términos de y , lo cual no es cierto. Por lo tanto, dado que, solo hay un elemento base que debe ser un no divisor. Lo contrario está claro.
Referencias
Este artículo incorpora material del espacio vectorial libre sobre un conjunto de PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
- Adamson, Iain T. (1972). Anillos y módulos elementales . Textos Matemáticos Universitarios. Oliver y Boyd. págs. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. Señor 0345993 .
- Keown, R. (1975). Introducción a la teoría de la representación de grupos . Matemáticas en ciencia e ingeniería. 116 . Prensa académica. ISBN 978-0-12-404250-6. Señor 0387387 .
- Govorov, VE (2001) [1994], "Módulo gratuito" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press.